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第零章 绪论——数论中的美学1

第一章 常数的魅力——初等数论8

1.1 初等数论中的美学综述8

1.1.1 序言8

1.1.2 自然数中的美学世界9

1.1.3 亲和数（相亲数）10

1.1.4 自然数中的神奇关系11

1.1.5 史上最神奇的数字13

1.1.6 幻方（魔方）14

1.2 古典美与现代美的统一——圆周率π17

1.2.1 序言17

1.2.2 π的奇妙23

1.2.3 圆周率π在古代的发展24

1.2.4 圆周率π的计算历程28

1.2.5 圆周率π与其他数学分支以及物理学的紧密联系31

1.2.6 圆周率π在当代32

1.3 自然美的诠释——自然底数e（初等数论篇）34

1.3.1 序言34

1.3.2 e的历史与欧洲历史上的“2＞3悖论”36

1.3.3 欧拉恒等式再现37

1.3.4 “三朵金花”姐妹情深38

1.3.5 自然底数e的“自然”39

1.3.6 e与生活40

1.4 美学的真谛——黄金分割比？45

1.4.1 序言45

1.4.2 斐波那契数列47

1.4.3 黄金分割比杂谈54

1.4.4 黄金分割比与生活57

1.4.5 黄金分割哲学60

第二章 从素数谈起——解析数论62

2.1 解析数论中的美学综述62

2.1.1 序言62

2.1.2 解析数论初谈63

2.1.3 解析数论的起源64

2.1.4 跨越界限的美67

2.1.5 素数初步69

2.2 在碰撞中绽放的思维火花——调和级数73

2.2.1 序言73

2.2.2 调和级数的曼妙74

2.2.3 百花齐放：发散性证明77

2.2.4 调和级数的奇异美82

2.2.5 调和级数延伸84

2.2.6 调和级数的发散率与部分和85

2.3 天地有大美——素数分布87

2.3.1 序言87

2.3.2 素数分布的特点91

2.3.3 梅森素数分布的进一步猜想93

2.3.4 由孪生素数向n生素数的推广猜想94

2.3.5 与素数定理的邂逅95

2.3.6 传世的证明成就素数之美97

2.3.7 素数分布有大美99

2.4 混沌初开——欧拉-马歇罗尼常数γ101

2.4.1 序言101

2.4.2 混沌中的希望102

2.4.3 殊途同归显真美105

2.4.4 欧拉-马歇罗尼常数性质探讨108

2.4.5 欧拉-马歇罗尼常数与素数同在110

2.5 自然美的诠释——自然底数e（解析数论篇）111

2.5.1 序言111

2.5.2 对数积分与指数积分112

2.5.3 欧拉与e114

2.5.4 极限分析中的e116

2.5.5 e与解析数论的深层关系117

2.5.6 淡妆浓抹总相宜119

第三章 历史的踪迹——代数数论122

3.1 深远的过往——古典代数数论122

3.1.1 序言122

3.1.2 历史的错乱123

3.1.3 古代数论124

3.1.4 典型数论127

3.2 破壳而出——经典代数数论130

3.2.1 序言130

3.2.2 中时期的力量133

3.2.3 《代数整数论》134

3.2.4 跨越世纪的“总结”136

第四章 奇异产生美——超越数论138

4.1 超越数论中的美学综述138

4.1.1 序言138

4.1.2 ？的无理性139

4.1.3 数π141

4.1.4 超越数142

4.1.5 代数数的逼近143

4.1.6 超越性问题及数论的其他分支144

4.1.7 超越数论的基本问题145

4.1.8 给出数的不同方法148

4.1.9 方法149

4.2 惊起一滩鸥鹭——连分数151

4.2.1 序言151

4.2.2 前面遗留的问题（连分数）153

4.2.3 连分数的性质杂谈159

4.2.4 清朝数学家与连分数160

4.2.5 连分数在天文方面的应用162

4.2.6 连分数杂谈165

4.3 经典的再现——超越性问题168

4.3.1 序言168

4.3.2 e的超越性问题169

4.3.3 π的超越性问题173

4.3.4 Ω常数175

4.3.5 超越性问题杂谈177

4.4 历史的玩笑——希尔伯特第七问题178

4.4.1 序言178

4.4.2 预备引理180

4.4.3 格尔丰德证法181

4.4.4 施耐德证法184

4.4.5 定理的证明，历史的沉淀187

4.4.6 施耐德第八问题188

4.5 混沌美的体现——超越数论中的零碎问题190

4.5.1 序言190

4.5.2 连分数的有理逼近191

4.5.3 代数数的有理逼近192

4.5.3.1 代数数以及多项式的参数192

4.5.3.2 问题的描述193

4.5.3.3 有理逼近194

4.5.3.4 补充的连分数逼近195

4.5.3.5 二次无理性196

4.5.3.6 刘维尔定理197

4.5.3.7 刘维尔定理的推广199

4.5.4 数e的有理逼近199

4.5.5 林德曼-魏尔斯特拉斯定理201

4.5.6 沙努尔猜想203

第五章 百花齐放谈数论205

5.1 从费马谈算数代数几何205

5.1.1 序言205

5.1.2 费马大定理208

5.1.3 费马小定理209

5.1.4 费马平方和定理211

5.1.5 费马多边形定理213

5.2 青春活力——几何数论215

5.2.1 序言215

5.2.2 闵可夫斯基与几何数论216

5.2.3 格点问题217

5.2.4 除数问题220

附录A 调和级数发散的14种证法223

附录B 黎曼ζ函数232

附录C 数论常用常数连分数表235

附录D 论不大于一个给定值的素数个数237

附录E 17世纪以来部分数学家族谱252

参考文献254