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第0章 中学数学知识摘要1

0-1 集合及其运算1

0-2 实数1

0-3 数列与级数2

0-4 函数概念7

0-5 某些函数的特性13

0-6 幂函数·指数函数和对数函数14

0-7 三角函数16

0-8 反三角函数17

第0章 测试题·阅读（双曲函数）18

微积分（一） 一元函数微积分第一篇 微积分浅释第1章 函数的极限和连续函数27

1-1 函数极限暂时的定义27

1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理29

1-3 无穷小量和无穷大量36

1-4 连续函数的主要性质40

1-5 章后点评50

第2章 微分和微分法·导数的简单应用51

2-1 微分和导数51

2-2 微分和导数的几何解释和物理解释64

2-3 微分法·二阶导数和二阶微分70

2-4 微分中值定理及其应用84

2-5 洛必达法则99

2-6 函数的极大（小）值和最大（小）值108

2-7 函数的凸性·勾画函数图形的方法121

2-8 曲线的曲率128

2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式131

第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法145

3-1 牛顿-莱布尼茨积分145

3-2 最简原函数表·分项积分法147

3-3 凑微分积分法150

3-4 换元积分法154

3-5 分部积分法157

3-6 常用积分公式表·例题和点评162

3-7 阅读（有理函数和三角函数有理式的积分法）164

第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广176

4-1 柯西-黎曼积分的定义及其性质176

4-2 关于连续函数积分的结论184

4-3 柯西-黎曼积分中的换元积分法和分部积分法198

4-4 积分在几何和物理上的应用215

4-5 反常积分（奇异积分和无穷积分）246

4-6 伽马函数和贝塔函数256

第二篇 补编263

第5章 再论极限263

5-1 极限概念的精确化263

5-2 极限的基本性质266

5-3 实数连续性质及其等价命题267

5-4 无穷极限（无穷大量）269

5-5 数e269

5-6 数列极限的例题和习题270

第6章 连续函数性质的证明283

6-1 有关连续函数几个定理的补证283

6-2 函数一致连续概念284

6-3 闭区间上连续函数可积性的证明287

第7章 函数可积性的进一步讨论290

7-1 可积准则290

7-2 积分性质的补证和某些函数的可积性292

第三篇 微积分的进一步应用第8章 微分方程（组）295

8-1 微分方程（组）的例题295

8-2 一阶微分方程的解法297

8-3 可降为一阶的二阶微分方程的解法308

8-4 二阶线性微分方程解的结构315

8-5 二阶线性常系数微分方程的解法318

8-6 简单一阶微分方程组的解法328

第9章 级数和某些初等函数的幂级数展开式333

9-1 收敛级数的性质·绝对收敛和条件收敛333

9-2 级数敛散性的判别法337

9-3 幂级数348

9-4 泰勒级数·展开定理和基本展开式360

第10章 向量的数量积和向量积·向量函数的微分和积分及其应用368

10-1 坐标空间368

10-2 向量的数量积与向量积369

10-3 向量函数的微分和积分375

10-4 曲率中心·渐开线和渐屈线376

10-5 质点（平面）运动的数学描述376

上册复习题377

微积分（二） 多元函数微积分第11章 多元函数微分法397

11-0 平面与直线的方程·二次曲面397

11-1 多元函数的概念·偏导数409

11-2 函数的极限与函数的连续性417

11-3 微分与导数421

11-4 复合函数的微分法·链式规则433

11-5 方向导数与梯度443

11-6 高阶偏导数与高阶微分·（二阶）泰勒公式454

第12章 多元函数微分法的应用472

12-1 隐函数的存在性与可微性472

12-2 二元函数的极值480

12-3 条件极值·拉格朗日乘数法485

第13章 重积分505

13-1 二重积分与计算二重积分的基本定理505

13-2 计算二重积分的一般方法513

13-3 二重积分的变量替换535

13-4 三重积分536

13-5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法540

13-6 无界域上的重积分550

第14章 曲线积分与曲面积分555

14-1 曲线积分555

14-2 标量函数的曲面积分（第一型曲面积分）569

14-3 向量值函数的曲面积分（第二型曲面积分）578

14-4 格林公式与斯托克斯公式588

14-5 曲线积分与路径无关的条件·向量场的环量和旋度599

14-6 奥-高公式·通量与散度609

第15章 含参变量的积分627

15-1 含参变量的正常积分627

15-2 含参变量的反常积分635

第16章 函数项级数的一致收敛性及其应用644

16-1 函数列与函数项级数的一致收敛性644

16-2 和函数的连续性·逐项积分与逐项微分653

16-3 用于幂级数的推论658

第17章 傅里叶级数659

17-1 傅里叶级数及其收敛性659

17-2 正弦展开与余弦展开·任意区间上的展开665

17-3 傅里叶级数的其他收敛定理676

下册复习题678

第18章 复变函数微积分691