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第一章 函数1

第一节 实数集1

一、实数集与数轴1

二、实数的绝对值及其性质1

三、区间与邻域2

第二节 函数的概念3

一、常量与变量3

二、函数的定义及其表示法3

三、函数的表示4

四、函数定义域的求法5

第三节 函数的几何特性5

一、单调性5

二、奇偶性6

三、有界性7

四、周期性7

第四节 反函数与复合函数8

一、反函数8

二、复合函数9

第五节 初等函数10

一、基本初等函数10

二、初等函数的概念14

第六节 数学实验与Mathematica软件14

一、数学实验14

二、数学建模15

三、Mathematica软件在一元函数中的应用16

习题一18

第二章 极限与连续18

第一节 数列的极限22

一、数列的概念22

二、数列的极限22

第二节 函数的极限24

一、x→∞时，函数f（x）的极限24

二、x→x0（x0为固定的有限点）时，函数f（x）的极限26

三、单侧极限27

第三节 函数极限的性质28

第四节 函数极限的运算32

一、极限的四则运算32

二、复合函数的极限33

第五节 无穷小量与无穷大量35

一、无穷小量与无穷大量35

二、无穷小量与无穷大量的性质36

三、无穷小量阶的比较37

第六节 函数的连续性39

一、连续的概念39

二、连续的性质41

三、间断点的分类42

四、闭区间上连续函数的性质43

习题二44

第三章 导数与微分49

第一节 导数的概念49

一、引例49

二、导数的定义与几何意义50

三、单侧导数52

四、可导与连续的关系53

五、不可导例子54

第二节 基本初等函数的导数与导数的四则运算54

一、基本初等函数的导数54

二、函数的四则运算求导法则56

第三节 反函数与复合函数的导数58

一、反函数的求导法则58

二、复合函数的求导法则59

三、隐函数求导法与对数求导法61

第四节 高阶导数的概念63

第五节 一元函数的微分64

一、微分的定义与几何意义64

二、微分法则与微分基本公式66

第六节 导数与微分的简单应用68

一、边际分析68

二、弹性概念70

习题三73

第四章 中值定理与导数的应用79

第一节 中值定理79

一、罗尔定理79

二、拉格朗日中值定理与推论80

三、柯西中值定理82

第二节 罗必塔法则83

一、不定式极限的类型83

二、罗必塔法则与各种不定式极限的计算83

三、罗必塔法则失效情况86

第三节 函数单调性的判别法87

第四节 函数的极值与最值89

一、函数的极值89

二、函数极值的必要条件与充分条件89

三、函数最值的概念，求函数最值的基本步骤93

四、经济应用举例94

第五节 凹凸性、拐点与渐近线98

一、曲线凹凸性与拐点定义98

二、曲线凹凸性与拐点的判别法98

三、曲线的渐近线100

第六节 函数作图的基本步骤与方法103

第七节 Mathematica在一元微分学中的应用107

一、计算函数的极限107

二、计算一元函数的导数和微分107

三、计算一元函数的极值108

习题四109

第五章 不定积分113

第一节 不定积分的概念113

一、原函数的概念113

二、不定积分的定义与几何意义114

三、不定积分的基本性质116

第二节 基本积分公式与直接积分法116

第三节 换元积分法119

一、第一换元积分法（凑微分法）119

二、第二换元积分法124

第四节 分部积分法128

第五节 有理函数的积分131

一、真分式的分解131

二、简单分式的不定积分133

三、求有理函数不定积分的一般步骤和方法134

习题五135

第六章 定积分138

第一节 定积分的概念及性质138

一、曲边梯形的面积138

二、定积分的定义140

三、定积分的基本性质141

第二节 微积分基本定理144

一、变上限定积分144

二、变上限积分的性质与求导方法145

三、牛顿-莱布尼茨公式148

第三节 定积分的计算149

一、定积分的换元积分法150

二、定积分的分部积分法152

第四节 定积分的应用153

一、平面图形的面积154

二、旋转体的体积156

三、简单的经济应用159

第五节 无穷限广义积分160

一、无穷限广义积分160

二、无穷限积分的计算160

三、瑕积分162

四、Γ函数与B函数的定义、性质与递推公式163

第六节 Mathematica在一元积分学中的应用165

习题六166

第七章 空间解析几何与向量代数170

第一节 空间直角坐标系170

一、空间点的直角坐标170

二、空间两点的距离171

第二节 向量代数初步172

一、向量的概念172

二、向量的线性运算173

第三节 平面与空间直线179

一、平面的方程179

二、空间直线方程182

第四节 简单的二次曲面185

习题七188

第八章 多元函数微分学190

第一节 多元函数的概念190

一、二元函数190

二、二元函数的几何意义192

第二节 多元函数的极限与连续192

一、多元函数的极限192

二、多元函数的连续性193

第三节 偏导数194

一、偏导数的定义与计算194

二、高阶偏导数196

第四节 全微分197

第五节 多元复合函数与隐函数微分法200

一、多元复合函数微分法200

二、隐函数的求导公式203

第六节 多元函数的极值与最值204

一、多元函数的极值与最值204

二、条件极值208

习题八210

第九章 多元函数积分学213

第一节 二重积分的概念与性质213

一、引例213

二、二重积分的定义215

三、二重积分的性质216

第二节 二重积分在直角坐标系下的计算217

一、平面区域的不等式表示218

二、二重积分的计算219

第三节 二重积分在极坐标下的计算226

一、极坐标系226

二、平面区域的极坐标表示226

三、极坐标下二重积分的计算228

第四节 二重积分的应用230

一、求体积231

二、求平面薄板的质量234

第五节 Mathematica在多元微积分中的应用235

一、三维空间作图235

二、计算偏导数与全微分237

三、计算二重积分237

习题九238

第十章 微分方程242

第一节 微分方程的概念242

第二节 一阶微分方程243

一、可分离变量的一阶微分方程244

二、齐次微分方程246

三、一阶线性微分方程248

四、可降阶的二阶微分方程252

第三节 二阶常系数线性微分方程256

一、线性微分方程解的性质256

二、二阶齐次常系数线性微分方程256

三、二阶非齐次常系数线性微分方程258

第四节 Mathematica在解微分方程中的应用264

习题十266

第十一章 无穷级数268

第一节 无穷级数的概念268

一、无穷级数的基本概念268

二、级数的基本性质270

第二节 正项级数271

一、正项级数及其基本性质271

二、正项级数敛散性的比较判别法与比较判别法的极限形式272

三、比值判别法274

第三节 任意项级数275

一、交错级数的莱布尼茨判别法275

二、绝对收敛与条件收敛的概念276

第四节 幂级数277

一、幂级数的基本概念277

二、幂级数的性质280

三、泰勒公式与泰勒级数282

四、幂级数展开举例284

第五节 Mathematica在无穷级数中的应用286

习题十一287

参考答案290

参考文献309