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第1章 函数、极限与连续1

本章学习目标1

1.1 函数1

1.1.1 数的概念1

1.1.2 复合函数2

1.1.3 反函数与隐函数2

1.1.4 初等函数2

1.1.5 函数的基本性质3

习题1.14

1.2 极限的概念4

1.2.1 数列的极限4

1.2.2 函数的极限6

1.2.3 无穷小量与无穷大量8

习题1.29

1.3 极限的运算10

1.3.1 极限的运算法则10

1.3.2 两个重要极限11

1.3.3 无穷小的比较13

习题1.314

1.4 函数的连续性14

1.4.1 数的连续性概念14

1.4.2 数的间断点及其分类16

1.4.3 初等函数的连续性17

1.4.4 闭区间上连续函数的性质18

习题1.419

1.5 利用Mathematica作图及进行函数与极限运算20

1.5.1 一元函数的图形20

1.5.2 求极限22

本章小结23

复习题124

自测题124

第2章 导数与微分26

本章学习目标26

2.1 导数的概念26

2.1.1 引例26

2.1.2 导数的概念与几何意义27

2.1.3 可导与连续的关系30

习题2.131

2.2 求导法则32

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则32

2.2.2 复合函数的导数33

2.2.3 反函数的求导法则34

2.2.4 初等函数的导数35

2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数36

2.2.6 高阶导数38

习题2.239

2.3 微分39

2.3.1 微分的概念40

2.3.2 微分的几何意义41

2.3.3 微分的运算法则42

2.3.4 微分在近似计算中的应用43

习题2.344

2.4 用Mathematica进行求导与微分运算44

2.4.1 导数概念演示44

2.4.2 用Mathematica求函数的导数和微分46

本章小结47

复习题248

自测题248

第3章 导数的应用50

本章学习目标50

3.1 微分中值定理50

3.1.1 罗尔中值定理50

3.1.2 拉格朗日中值定理51

习题3.152

3.2 洛必达法则52

习题3.254

3.3 函数的单调性、极值和最值55

3.3.1 函数的单调性55

3.3.2 函数的极值56

3.3.3 函数的最大值和最小值58

习题3.359

3.4 曲线的凹凸性与拐点60

习题3.461

3.5 函数图形的描绘61

习题3.563

3.6 曲率63

3.7 用Mathematica求解导数的应用问题64

本章小结65

复习题366

自测题366

第4章 积分68

本章学习目标68

4.1 定积分与不定积分的概念68

4.1.1 定积分的概念与性质68

4.1.2 定积分基本公式73

4.1.3 不定积分的概念与性质76

4.1.4 基本积分公式78

习题4.180

4.2 基本积分方法81

4.2.1 换元积分法81

4.2.2 分部积分法89

4.2.3 简单有理函数和三角有理式的积分92

习题4.294

4.3 广义积分97

4.3.1 无穷区间上的广义积分97

4.3.2 无界函数的广义积分98

习题4.3100

4.4 用Mathematica求积分100

4.4.1 用Mathematica计算不定积分100

4.4.2 用Mathematica演示变上限函数101

本章小结102

复习题4103

自测题4104

第5章 定积分在几何上的应用106

本章学习目标106

5.1 定积分的微元法106

5.2 用定积分求平面图形的面积107

5.3 用定积分求体积111

5.3.1 平行截面面积已知的立体体积111

5.3.2 旋转体的体积112

本章小结114

复习题5115

自测题5115

第6章 常微分方程117

本章学习目标117

6.1 常微分方程的基本概念117

习题6.1119

6.2 一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程119

6.2.1 可分离变量的微分方程119

6.2.2 齐次型微分方程121

6.2.3 一阶线性微分方程122

6.2.4 可降阶的高阶微分方程124

习题6.2126

6.3 二阶常系数线性微分方程127

6.3.1 二阶线性微分方程解的结构127

6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法128

习题6.3131

6.4 微分方程的应用131

6.4.1 一阶微分方程的应用131

6.4.2 二阶微分方程的应用133

习题6.4135

本章小结136

复习题6136

测试题6137

第7章 空间解析几何、多元函数微积分简介138

本章学习目标138

7.1 空间解析几何简介138

7.2 多元函数的概念、极限与连续140

7.2.1 多元函数的概念140

7.2.2 二元函数的极限与连续142

习题7.2144

7.3 偏导数与全微分145

7.3.1 偏导数145

7.3.2 高阶偏导数147

7.3.3 全微分148

习题7.3150

7.4 多元复合函数与隐函数的微分法151

7.4.1 多元复合函数的微分法151

7.4.2 隐函数微分法154

习题7.4155

7.5 二元函数的极值156

7.5.1 二元函数的极值156

7.5.2 二元函数的最大值与最小值157

7.5.3 条件极值158

习题7.5160

7.6 二重积分160

7.6.1 二重积分的概念160

7.6.2 二重积分的几何意义163

7.6.3 二重积分的性质164

7.6.4 二重积分的计算165

习题7.6170

7.7 数学实验172

7.7.1 利用Mathematica做二元函数图形172

7.7.2 三维参数图形173

7.7.3 Mathematica求偏导数177

7.7.4 计算二元积分178

本章小结178

复习题7179

自测题7180

第8章 行列式与矩阵182

本章学习目标182

8.1 行列式182

8.1.1 行列式的概念182

8.1.2 行列式的性质与计算185

8.1.3 克莱姆法则190

习题8.1192

8.2 矩阵及其运算193

8.2.1 矩阵的概念193

8.2.2 矩阵的运算194

习题8.2198

8.3 矩阵的初等变换与矩阵的秩199

8.3.1 矩阵的初等变换199

8.3.2 矩阵的秩201

习题8.3203

8.4 矩阵的逆203

8.4.1 可逆阵及其判别203

8.4.2 用初等行变换法求逆矩阵205

习题8.4207

8.5 用Mathematica进行行列式与矩阵的运算208

本章小结212

自测题8213

第9章 线性方程组218

9.1 线性方程组的消元解法218

9.1.1 线性方程组的消元法218

9.1.2 线性方程组解的判定221

习题9.1223

9.2 线性方程组解的结构224

9.2.1 n维向量、向量组的线性相关性与秩224

9.2.2 齐次线性方程组解的结构228

9.2.3 非齐次线性方程组解的结构230

习题9.2232

9.3 用Mathematica求解线性方程组233

本章小结237

自测题9239

第10章 概率论基础242

10.1 随机事件与概率242

10.1.1 随机实验242

10.1.2 事件间的关系及运算243

10.1.3 概率245

10.2 古典概型246

10.2.1 古典概型246

10.2.2 概率的性质246

10.2.3 概率的加法公式246

习题10.2247

10.3 条件概率、乘法公式与事件的独立性248

10.3.1 条件概率248

10.3.2 乘法公式248

10.3.3 事件的独立性249

10.3.4 全概公式与逆概公式249

习题10.3250

本章小结251

自测题10251

第11章 随机变量的分布与数字特征253

11.1 随机变量的分布253

11.1.1 随机变量253

11.1.2 离散型随机变量及其概率分布253

11.1.3 连续型随机变量及其概率分布256

11.1.4 分布函数258

11.1.5 随机变量函数的分布261

习题11.1263

11.2 随机变量的数字特征263

11.2.1 数学期望263

11.2.2 随机变量函数的数学期望266

11.2.3 方差266

习题11.2268

11.3 数学实验268

一、实验目的268

二、内容与步骤268

本章小结270

自测题11271

第12章 数理逻辑274

本章学习目标274

12.1 命题及其符号化274

12.1.1 命题概念274

12.1.2 命题联结词275

12.1.3 命题的符号化277

习题12.1278

12.2 命题公式与公式等值279

12.2.1 命题公式279

12.2.2 真值表279

12.2.3 等价公式280

习题12.2283

12.3 命题逻辑推理理论283

12.3.1 蕴涵及基本蕴涵式283

12.3.2 命题逻辑推理理论284

12.3.3 推理常用方法285

习题12.3287

12.4 谓词逻辑及其应用288

12.4.1 个体词、谓词和量词288

12.4.2 谓词逻辑公式与解释291

12.4.3 谓词逻辑公式的等价与蕴涵293

12.4.4 谓词演算的推理理论297

习题12.4300

本章小结301

自测题12301

第13章 图论初步303

本章学习目标303

13.1 图的基本概念303

13.1.1 图的定义303

13.1.2 顶点的度数304

13.1.3 多重图、简单图与完全图305

13.1.4 子图307

习题13.1308

13.2 图的矩阵表示308

13.2.1 图的邻接矩阵表示308

13.2.2 图的关联矩阵表示310

13.2.3 图的可达矩阵表示311

习题13.2313

13.3 路与回路314

13.3.1 通路与回路314

13.3.2 图的连通性315

13.3.3 欧拉图与哈密顿图318

13.3.4 赋权图与最短通路323

习题13.3326

13.4 树及其应用327

13.4.1 无向树及其性质327

13.4.2 生成树与最小生成树329

13.4.3 有向树330

习题13.4335

本章小结335

自测题13335

附录A 积分表337

附录B 泊松分布表345

附表C 标准正态分布表347

习题答案349

参考文献373