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第1篇 微积分1

第1章 函数、极限和连续1

1.1 函数1

一、函数的基本概念1

二、函数的基本性质4

三、反函数、隐函数和复合函数7

四、分段函数10

五、初等函数10

1.2 极限12

一、数列的极限12

二、函数的极限15

三、无穷小、无穷大和无穷小量阶的比较21

1.3 函数的连续性与间断点24

一、函数的连续性24

二、间断点26

三、闭区间上连续函数的性质27

习题一29

第2章 导数与微分33

2.1 导数与微分33

一、基本概念、性质和定理33

二、导数公式和运算法则36

三、反函数、复合函数和隐函数的导数法则37

四、微分38

五、高阶导数39

2.2 各种函数的导数的解法41

一、求幂指函数的导数41

二、求函数表达式为若干因子连乘积或商形式的函数的导数或微分42

三、分段函数的导数42

2.3 重要结论43

习题二44

第3章 微分中值定理和导数的应用47

3.1 微分中值定理47

一、罗尔定理47

二、拉格朗日中值定理和柯西中值定理50

三、泰勒定理53

3.2 洛必达法则54

一、0/0未定式54

二、∞／∞型未定式55

三、其他未定式∞－∞，0·∞，1∞，∞0，00的计算56

3.3 导数的应用57

一、过定点的曲线的切线和法线方程57

二、函数单调性的判别58

三、函数的极值和最值59

四、曲线的凹凸性和拐点61

五、曲线的渐近线62

六、函数作图及函数图形与其导函数图形的关系63

习题三65

第4章 不定积分68

4.1 不定积分的基本概念和性质68

一、原函数和不定积分的概念68

二、基本积分公式70

三、不定积分的基本运算法则71

4.2 不定积分的计算方法72

一、不定积分的换元积分法72

二、不定积分的分部积分法76

4.3 各种函数的不定积分78

一、有理函数的积分78

二、三角函数有理式？R(sinx,cosx)dx的积分79

三、含无理式的不定积分82

四、分段函数的不定积分83

五、复合函数的不定积分84

习题四85

第5章 定积分和反常积分88

5.1 定积分的概念和性质88

一、定积分的概念88

二、定积分的性质89

5.2 定积分的计算92

一、微积分基本公式92

二、定积分的换元法和分部积分法94

三、定积分计算中的常用公式96

四、分段函数的定积分98

五、杂例99

5.3 反常积分及计算100

一、无穷区间上的反常积分100

二、无界函数的反常积分（或瑕积分）101

三、计算反常积分的步骤102

5.4 定积分的应用103

习题五107

第6章 多元函数微分学及应用109

6.1 多元函数、极限和连续109

一、多元函数的概念109

二、二元函数的极限和连续110

6.2 二元函数偏导数、全微分112

一、偏导数112

二、全微分114

6.3 多元复合函数求导法和隐函数求导法118

一、多元复合函数的求导法118

二、多元隐函数求导法121

6.4 多元函数的极值、条件极值和最值124

一、基本概念和定理124

二、极值的求法124

习题六128

第7章 二重积分131

7.1 二重积分131

一、二重积分的概念131

二、二重积分的基本性质132

三、二重积分的计算134

四、分段函数的二重积分140

7.2 无界区域上的二重积分141

习题七142

第8章 无穷级数144

8.1 数项级数144

一、级数的概念144

二、正项级数收敛性的判别147

三、交错级数？(-1)n－1un,(un>0)与莱布尼茨定理149

四、任意项级数？un（un 可正、可负、可0）的绝对收敛和条件收敛151

8.2 幂级数153

一、函数项级数（大纲不要求）153

二、幂级数154

习题八159

第9章 常微分方程162

9.1 微分方程的基本概念162

一、微分方程162

二、常微分方程的解162

9.2 一阶微分方程163

一、可分离变量的微分方程163

二、齐次方程163

三、一阶线性微分方程165

9.3 二阶线性微分方程167

一、线性微分方程解的性质和结构定理167

二、常系数齐次和非齐次线性微分方程168

9.4 差分方程172

习题九174

第10章 微积分在经济中的应用177

一、基本概念和公式177

二、复利问题182

第2篇 线性代数184

第1章 行列式184

1.1 行列式的概念184

一、排列与逆序184

二、n阶行列式定义185

三、特殊的行列式185

1.2 行列式的性质和定理186

一、行列式的性质186

二、行列式按行（列）展开定理187

1.3 行列式的计算188

1.4 克莱姆法则192

习题一194

第2章 矩阵197

2.1 矩阵的概念197

一、矩阵的概念和运算197

二、方阵的行列式199

2.2 逆矩阵和伴随矩阵200

一、逆矩阵200

二、伴随矩阵201

2.3 分块矩阵202

2.4 初等变换203

一、初等变换203

二、初等矩阵204

三、矩阵的秩205

习题二207

第3章 向量211

3.1 向量211

一、基本概念和运算法则211

二、线性组合212

三、线性相关和线性无关212

四、向量组的等价214

五、向量组相关性的重要结论214

3.2 向量组的秩214

一、极大线性无关组214

二、向量组的秩215

3.3 内积与施密特正交化方法216

一、向量的内积，长度及正交216

二、Schmidt正交化方法216

习题三217

第4章 线性方程组219

4.1 高斯消元法219

一、基本概念219

二、高斯消元法（用初等变换求线性方程组的解）219

4.2 线性方程组解的结构、性质和判定222

一、齐次线性方程组Am×nx＝0的基础解系222

二、齐次线性方程组Am×nx＝0的解判定定理、性质和结构定理224

三、非齐次线性方程组Am×nx＝b的解的判定定理、性质和结构定理225

四、两个线性方程组解之间的关系228

4.3 线性方程组在向量中的应用229

一、向量的线性相关性229

二、向量组的线性表示的问题230

习题四232

第5章 特征值与特征向量235

5.1 特征值与特征向量235

一、基本概念235

二、基本性质236

三、计算特征值与特征向量236

5.2 相似矩阵与矩阵的对角化238

一、基本概念和性质238

二、矩阵的相似对角化的步骤239

三、实对称矩阵的相似对角化240

习题五241

第6章 二次型245

6.1 基本概念和性质245

一、二次型的定义245

二、合同变换和合同矩阵246

三、二次型的标准形与规范型247

四、矩阵的等价、相似和合同的结论252

6.2 正定二次型253

习题六255

第3篇 概率论与数理统计第1章 随机事件与概率258

1.1 基本概念与性质258

一、基本概念258

二、事件的概率和性质260

1.2 古典概率262

一、古典概型262

二、几何概型264

1.3 条件概率和三个概率计算公式265

一、条件概率265

二、三个概率计算公式266

1.4 事件的独立性和贝努里概型269

一、事件的独立性269

二、贝努里（Bernoulli）概型270

习题一271

第2章 随机变量及其分布275

2.1 基本概念和性质275

一、随机变量和分布函数275

二、离散型随机变量276

三、连续型随机变量280

2.2 随机变量函数的分布282

一、离散型随机变量函数的分布282

二、连续型随机变量函数的分布283

习题二285

第3章 多维随机变量及其分布289

3.1 基本概念289

一、二维随机变量的分布289

二、边缘分布290

3.2 二维随机变量290

一、二维离散型随机变量290

二、二维连续型随机变量294

三、相互独立的随机变量297

3.3 随机变量的函数分布Z＝g(X,Y)299

习题三303

第4章 随机变量的数字特征308

4.1 一维随机变量的数字特征308

一、数学期望和方差308

二、重要结论和公式310

三、由随机试验给出的随机变量的数字特征的计算311

4.2 二维（多维）随机变量的数字特征312

一、两个随机变量函数的数学期望312

二、协方差，相关系数和矩312

三、二维随机变量及其函数的数字特征的计算313

四、利用（0—1）分布求多维随机变量数字特征319

习题四321

第5章 大数定律与中心极限定理324

5.1 大数定律324

一、切比雪夫不等式324

二、大数定律325

5.2 中心极限定理326

一、列维-林德伯格定理326

二、棣莫佛-拉普拉斯定理327

习题五329

第6章 样本与抽样分布331

6.1 数理统计的基本概念和结论331

一、总体与样本331

二、统计量332

三、分位数333

6.2 三个常用统计量分布，x2分布，t分布和F分布333

一、x2分布333

二、t分布333

三、F分布334

四、正态总体的抽样分布334

五、统计量的数字特征336

习题六338

第7章 参数估计340

一、基本概念340

二、矩估计法340

三、最大似然估计法341

习题七343