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第一章 正交变换与仿射变换1

1 点变换1

1.1 点变换的定义1

1.2 变换的乘积2

1.3 恒等变换与逆变换3

2 正交变换4

2.1 实例4

2.2 正交变换8

2.3 正交变换与坐标变换的关系15

3 仿射变换17

3.1 二平面间的透视仿射对应17

3.2 仿射对应与仿射变换19

3.3 仿射坐标系20

3.4 仿射变换的代数表示式22

3.5 图形的仿射性质26

3.6 仿射变换的特例31

第二章 射影平面36

4 中心射影与无穷远元素36

4.1 中心射影36

4.2 无穷远元素38

4.3 一维与二维射影空间的概念与模型39

4.4 图形的射影性质41

4.5 利用投影到无穷远证明几何题43

5 笛沙格(Desargues)透视定理45

6 齐次点坐标50

6.1 齐次点坐标50

6.2 直线的齐次坐标议程52

6.3 齐次点坐标的应用53

7 线坐标63

7.1 齐次线坐标63

7.2 非齐次线坐标64

8 对偶原则68

8.1 对偶图形68

8.2 对偶命题与对偶原则72

8.3 代数对偶75

9 复元素79

9.1 二维空间的复元素79

9.2 二维共轭复元素81

第三章 射影变换84

10 交比与调和比84

10.1 点列的四点的交比与调和比84

10.2 交比的代数表示87

10.3 共线四点的调和比92

10.4 线束的四直线的交比与调和比94

11 完全四点形与完全四线形的调和性100

12 一维基本形的射影对应105

12.1 透视对应与射影对应105

12.2 点列间射影对应的代数表示110

13 一维射影变换115

14 一维基本形的对合118

15 二维射影变换124

15.1 非奇线性对应与射影对应125

15.2 射影变换及其不变元素129

16 射影坐标133

16.1 一维射影坐标133

16.2 二维射影坐标136

17 变换群的概念144

第四章 变换群与几何学144

18 平面上的几个变换群147

19 变换群与相应的几何学153

20 射影、仿射、欧氏三种几何学的比较156

第五章 二次曲线的射影理论162

21 二次曲线的射影定义162

21.1 二阶曲线与二级曲线162

21.2 二阶曲线与直线的相关位置166

21.3 二队曲线与二级曲线的关系168

22 巴斯加定理和布利安桑定理172

23 极点与极线、配极变换178

23.1 极点、极线的定义及求法178

23.2 配极原则180

23.3 配极变换183

24 二阶曲线的射影分类185

24.1 二阶曲线的奇异点186

24.2 二阶曲线的射影分类187

25 二阶曲线上的射影变换与对合193

25.1 二阶曲线上的射影变换193

25.2 二阶曲上的对合196

第六章 二次曲线的仿射理论与度量理论199

26 二阶曲线的中心、直径、渐近线199

26.1 中心200

26.2 直径与共轭直径201

26.3 渐近线205

27 二次曲线的仿射分类210

28 圆环点与迷向直线216

29 二阶曲线的主轴、焦点与准线220

29.1 主轴220

29.2 焦点与准线222

30 共焦二次曲线束226

第七章 射影几何基础231

31 几何公理法简介231

32 实射影几何的公理体系233

33 公理体系的三个基本问题237

33.1 公理体系的和谐性237

33.2 公理体系的独立性240

33.3 公理体系的完备性241

34 射影几何公理体系的和谐性244

第八章 非欧几何学概要247

35 射影测度247

36 双曲运动群和椭圆运动群250

36.1 自同构群250

36.2 双曲运动群和椭圆运动群251

37 罗氏几何的克莱因模型252

38 黎曼几何的模型257

附录 一般体(域)上的射影几何简介260

1 预备知识260

1.1 群260

1.2 体261

1.3 向量空间261

2 一般体(域)上的射影几何265

2.1 射影几何与射影空间265

2.2 射影变换与射影坐标271

2.3 对偶原理276

3 一般体(域)上的仿射几何279

3.1 仿射空间与仿射几何279

3.2 仿射坐标280

3.3 仿射变换281