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第一部分 高等数学3

第一章 函数、极限与连续3

1 知识要点精讲3

2 重要公式与结论16

3 典型题型与例题分析18

题型一 函数关系的建立18

题型二 考查函数的特性19

题型三 求函数极限20

题型四 求数列极限28

题型五 求解含参变量的极限32

题型六 已知极限，求待定参数、函数值、导数及函数33

题型七 无穷小比较35

题型八 判断函数的连续性与间断点的类型36

题型九 确定方程f(x)=0的根38

题型十 综合题39

习题精选一41

习题精选一参考答案与提示43

第二章 导数与微分44

1 知识要点精讲44

2 重要公式与结论50

3 典型题型与例题分析51

题型一 利用导数定义解题51

题型二 求分段函数的导数54

题型三 导数在几何上的应用56

题型四 变限积分求导59

题型五 利用导数公式与运算法则求导62

题型六 综合题65

习题精选二67

习题精选二参考答案与提示69

第三章 微分中值定理与导数的应用71

1 知识要点精讲71

2 典型题型与例题分析80

题型一 证明存在ξ，使f（ξ）＝080

题型二 证明存在ξ，使f（n）（ξ）＝0（n=1,2，…）82

题型三 证明存在ξ，使G（ξ，f（ξ），f′（ξ），…）＝084

题型四 直接用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明87

题型五 双介值问题，要证存在ξ，η使G（f′（ξ），f′（η），…）＝089

题型六 证明存在ξ，使得f（n）（ξ）＝k（k≠0）90

题型七 有关介值的不等式证明91

题型八 隐含介值问题92

题型九 不等式的证明94

题型十 利用导数证明函数恒等式104

题型十一 利用导数判别函数的单调性105

题型十二 利用导数研究函数的极值与最值106

题型十三 曲线的凹凸性与拐点107

题型十四 求曲线的渐近线108

题型十五 函数作图108

题型十六 求曲率与曲率半径110

题型十七 综合题110

习题精选三112

习题精选三参考答案与提示114

第四章 一元函数积分学116

1 知识要点精讲116

2 重要公式与结论134

3 典型题型与例题分析135

题型一 计算不定积分135

题型二 不定积分综合题139

题型三 有关定积分的概念与性质的问题143

题型四 利用基本方法（牛顿-莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法）计算定积分145

题型五 对称区间上的积分149

题型六 涉及变限积分的问题150

题型七 定积分循环计算法154

题型八 几类特殊积分问题154

题型九 反常（广义）积分的计算158

题型十 定积分等式的证明161

题型十一 定积分不等式的证明163

题型十二 定积分的几何（物理）应用166

题型十三 综合题170

习题精选四175

习题精选四参考答案178

第五章 向量代数与空间解析几何180

1 知识要点精讲及主要公式与结论180

2 典型题型与例题分析185

题型一 与向量代数有关的计算问题185

题型二 求平面与直线方程185

题型三 讨论平面与直线的位置关系187

题型四 求对称点、投影点及投影曲线188

题型五 综合题189

习题精选五190

习题精选五参考答案190

第六章 多元函数微分学191

1 知识要点精讲及主要公式与结论191

2 典型题型与例题分析198

题型一 基本概念题198

题型二 求复合函数的偏导数或全微分201

题型三 求隐函数的偏导数或全微分202

题型四 已知偏导数，反求函数关系205

题型五 多元函数的极值和最值问题206

题型六 求多元函数的梯度或方向导数211

题型七 多元函数微分学的几何应用212

题型八 综合题213

习题精选六214

习题精选六参考答案216

第七章 重积分217

1 知识要点精讲217

2 重要公式与结论223

3 典型题型与例题分析224

题型一 考查二重积分的基本概念与性质224

题型二 二重积分的基本计算方法225

题型三 利用重积分的对称性简化计算228

题型四 交换积分次序229

题型五 分区域函数的二重积分230

题型六 反常（广义）二重积分232

题型七 直角坐标系下计算三重积分（适用于方形区域）233

题型八 利用“先二后一”法（适用于旋转体类型的区域）233

题型九 利用柱面坐标（适用于区域含柱形体的情形）234

题型十 利用球面坐标（适用于区域含球形的情形）234

题型十一 综合题234

习题精选七238

习题精选七参考答案与提示240

第八章 曲线、曲面积分241

1 知识要点精讲241

2 重要公式与结论247

3 典型题型与例题分析249

题型一 对弧长的曲线积分的计算方法249

题型二 对坐标的曲线积分的计算方法250

题型三 对面积的曲面积分的计算方法254

题型四 对坐标的曲面积分的计算方法255

题型五 求曲面的面积259

题型六 求向量场的散度及旋度260

题型七 综合题261

习题精选八263

习题精选八参考答案与提示265

第九章 无穷级数267

1 知识要点精讲267

2 重要公式与结论274

3 典型题型与例题分析275

题型一 判定常数项级数的收敛性275

题型二 求函数项级数的收敛域、幂级数的收敛半径和收敛区间278

题型三 求常数项级数的和及函数项级数的和函数281

题型四 幂级数的展开282

题型五 傅里叶级数的展开284

题型六 综合题285

习题精选九287

习题精选九参考答案与提示289

第十章 常微分方程290

1 知识要点精讲290

2 基本方法298

3 典型题型与例题分析300

题型一 可化为一阶线性微分方程的求解及全微分方程求解300

题型二 可化为变量可分离微分方程的求解302

题型三 可降阶的高阶微分方程304

题型四 高阶线性微分方程和可化为二阶常系数线性微分方程的求解305

题型五 综合题与应用题307

习题精选十312

习题精选十参考答案与提示314

第二部分 线性代数319

第一章 行列式319

1 知识要点精讲319

2 难点、疑点解析及重要公式与结论322

3 典型题型与例题分析325

题型一 利用行列式的性质与行（列）展开定理计算行列式325

题型二 按行（列）展开公式求代数余子式326

题型三 利用多项式分解因式计算行列式327

题型四 抽象行列式的计算或证明327

题型五 n阶行列式的计算329

题型六 利用特征值计算行列式334

题型七 综合题335

习题精选一336

习题精选一参考答案338

第二章 矩阵342

1 知识要点精讲342

2 难点、疑点解析及重要公式与结论349

3 典型题型与例题分析352

题型一 求数值型矩阵的逆矩阵352

题型二 A为抽象矩阵，讨论A的可逆性355

题型三 考查矩阵运算的特殊性356

题型四 解矩阵方程358

题型五 求方阵A的高次幂An360

题型六 利用伴随矩阵A＊进行计算或证明361

题型七 有关初等矩阵的问题363

题型八 求矩阵的秩364

题型九 综合题366

习题精选二367

习题精选二参考答案369

第三章 向量373

1 知识要点精讲373

2 难点、疑点解析及重要公式与结论382

3 典型题型与例题分析384

题型一 判定向量组的线性相关性384

题型二 把一个向量用一组向量线性表示389

题型三 求向量组的秩394

题型四 有关矩阵秩的命题396

题型五 有关向量空间的基本概念题397

题型六 综合题398

习题精选三400

习题精选三参考答案402

第四章 线性方程组404

1 知识要点精讲404

2 难点、疑点解析及重要公式与结论409

3 典型题型与例题分析410

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构）410

题型二 含有参数的线性方程组的求解412

题型三 抽象线性方程组求解419

题型四 讨论两个方程组的公共解421

题型五 讨论两个方程组解之间的关系424

题型六 已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数425

题型七 有关基础解系的讨论427

题型八 有关AB=0的应用429

题型九 综合题430

习题精选四436

习题精选四参考答案438

第五章 特征值与特征向量442

1 知识要点精讲442

2 难点、疑点解析及重要公式与结论447

3 典型题型与例题分析449

题型一 数值型矩阵特征值、特征向量的计算449

题型二 计算抽象矩阵的特征值451

题型三 特征值、特征向量的逆问题454

题型四 矩形相似与对角化的讨论457

题型五 有关实对称矩阵的命题462

题型六 特征值、特征向量与相似矩阵的应用问题464

题型七 有关特征值、特征向量的证明问题468

题型八 综合题469

习题精选五474

习题精选五参考答案476

第六章 二次型479

1 知识要点精讲479

2 难点、疑点解析及重要公式与结论485

3 典型题型与例题分析486

题型一 基本概念题（二次型的矩阵、秩、正负惯性指数）486

题型二 化二次型为标准形487

题型三 有关正定二次型（正定矩阵）命题的证明491

题型四 综合题495

习题精选六498

习题精选六参考答案499

第三部分 概率论与数理统计第一章 随机事件与概率503

1 知识要点精讲503

2 补充注释与重要结论507

3 典型题型与例题分析510

题型一 事件的表示和运算510

题型二 有关概率基本性质的命题511

题型三 古典概型与几何概型的概率计算513

题型四 事件独立性的命题516

题型五 条件概率与积事件概率的计算519

题型六 全概率公式和贝叶斯公式概型522

题型七 伯努利试验525

题型八 综合题526

习题精选一528

习题精选一参考答案530

第二章 随机变量及其分布533

1 知识要点精讲533

2 补充注释与重要结论536

3 典型题型与例题分析538

题型一 有关随机变量与分布的基本概念题538

题型二 求随机变量的分布律与分布函数541

题型三 已知事件发生的概率，反求事件中的未知参数547

题型四 利用常见分布求相关事件的概率548

题型五 求随机变量函数的分布550

题型六 综合题554

习题精选二556

习题精选二参考答案558

第三章 多维随机变量及其分布560

1 知识要点精讲560

2 补充注释与重要结论564

3 典型题型与例题分析566

题型一 联合分布、边缘分布与条件分布的计算566

题型二 已知部分分布律或边缘分布，求联合分布律或相关参数572

题型三 利用已知分布求相关事件的概率573

题型四 随机变量函数的分布574

题型五 随机变量的独立性的讨论580

题型六 综合题581

习题精选三583

习题精选三参考答案585

第四章 随机变量的数字特征588

1 知识要点精讲588

2 补充注释与重要结论591

3 典型题型与例题分析592

题型一 期望和方差的计算592

题型二 随机变量函数的数学期望与方差595

题型三 有关协方差、相关系数、独立性与相关性的命题601

题型四 有关数字特征的应用题606

题型五 综合题608

习题精选四610

习题精选四参考答案611

第五章 大数定律和中心极限定理613

1 知识要点精讲613

2 典型题型与例题分析615

题型一 有关切比雪夫不等式的命题615

题型二 有关大数定律的命题616

题型三 有关中心极限定理的命题617

题型四 综合题621

习题精选五621

习题精选五参考答案623

第六章 数理统计的基本概念624

1 知识要点精讲624

2 补充注释与重要结论629

3 典型题型与例题分析630

题型一 求样本容量n，或与样本均值？和样本方差S2有关的概率630

题型二 求统计量的数字特征631

题型三 求统计量的分布633

习题精选六635

习题精选六参考答案636

第七章 参数估计637

1 知识要点精讲637

2 补充注释与重要结论640

3 典型题型与例题分析640

题型一 求矩法估计和最大似然估计640

题型二 估计量评选标准的讨论646

题型三 参数的区间估计650

题型四 综合题651

习题精选七652

习题精选七参考答案654

第八章 假设检验655

1 知识要点精讲655

2 补充注释与重要结论656

3 典型题型与例题分析657

题型一 正态总体未知参数的假设检验657

题型二 有关两类错误的命题658

习题精选八659

习题精选八参考答案660