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1 函数、极限与连续1

1.1 函数1

1.1.1 函数的概念1

1.1.2 函数的表示法4

1.1.3 函数的性质5

1.1.4 反函数与复合函数7

1.1.5 初等函数11

1.1.6 其他函数13

1.2 数列的极限15

1.2.1 数列15

1.2.2 数列的极限16

1.3 函数的极限17

1.3.1 函数f（x）当x→∞时的极限18

1.3.2 函数f（x）当x→x0时的极限19

1.4 无穷小与无穷大、极限运算法则21

1.4.1 无穷小21

1.4.2 无穷小的性质21

1.4.3 无穷大22

1.4.4 极限运算法则23

1.5 极限的性质、重要极限25

1.5.1 极限的性质25

1.5.2 极限存在准则与重要极限25

1.6 无穷小的比较29

1.6.1 无穷小的阶29

1.6.2 等价无穷小的代换30

1.7 函数的连续性32

1.7.1 函数连续的定义32

1.7.2 函数的间断点33

1.7.3 连续函数34

习题136

2 导数及应用40

2.1 导数的概念40

2.1.1 导数的定义40

2.1.2 左、右导数42

2.1.3 导数与连续的关系43

2.1.4 导数的几何意义与物理意义45

2.2 初等函数的导数46

2.2.1 基本初等函数的导数46

2.2.2 函数和、差、积、商的导数47

2.2.3 复合函数的导数48

2.2.4 反函数的导数50

2.2.5 基本导数表50

2.3 其他函数的求导方法51

2.3.1 隐函数的导数51

2.3.2 对数求导法52

2.3.3 参数方程所确定函数的导数52

2.4 高阶导数53

2.4.1 高阶导数的概念53

2.4.2 高阶导数的运算法则55

2.4.3 隐函数及参数方程的二阶导数55

2.5 微分及其应用56

2.5.1 微分的概念56

2.5.2 微分与导数的关系56

2.5.3 基本微分表和微分运算法则57

2.5.4 微分的应用58

2.6 微分中值定理58

2.6.1 费马引理59

2.6.2 罗尔定理59

2.6.3 拉格朗日定理60

2.6.4 柯西定理62

2.7 洛必达法则62

2.7.1 不定型“0/0的定值法62

2.7.2 不定型“∞/∞”的定值法65

2.7.3 其他不定型的定值法66

2.8 利用导数研究函数的性态68

2.8.1 函数单调性的判别法68

2.8.2 函数的极值及其计算70

2.8.3 函数的最大值、最小值问题71

2.8.4 函数曲线的凹、凸性与拐点73

2.8.5 曲线的渐近线与函数图形的描绘75

习题278

3 积分学83

3.1 不定积分83

3.1.1 不定积分的概念83

3.1.2 不定积分的换元积分法85

3.1.3 不定积分的分部积分法91

3.1.4 有理函数的积分95

3.2 定积分99

3.2.1 定积分的概念99

3.2.2 定积分的计算101

3.2.3 定积分的应用107

3.3 反常积分109

3.3.1 无穷区间上的反常积分109

3.3.2 无界函数的反常积分110

习题3112

4 微分方程117

4.1 微分方程的概念117

4.2 一阶微分方程118

4.2.1 可分离变量的微分方程118

4.2.2 齐次微分方程118

4.2.3 一阶线性微分方程120

4.2.4 伯努利方程121

4.3 高阶可降阶的微分方程122

4.3.1 y″=f（x）型方程122

4.3.2 y″=f（x,y′）型方程122

4.3.3 y″=f（y,y′）型方程123

4.4 线性微分方程125

4.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构125

4.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构126

4.5 二阶常系数线性微分方程127

4.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程127

4.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程128

4.5.3 微分方程的应用130

习题4131

5 多元函数微积分135

5.1 多元函数微分学135

5.1.1 多元函数的概念135

5.1.2 偏导数与全微分138

5.1.3 多元复合函数及隐函数的偏导数141

5.1.4 多元函数的极值与最值147

5.2 二重积分151

5.2.1 二重积分的概念151

5.2.2 二重积分的计算153

习题5159

6 概率论基础164

6.1 随机事件及其概率164

6.1.1 随机试验与随机事件164

6.1.2 事件的关系和运算165

6.2 概率的定义168

6.2.1 概率的统计定义168

6.2.2 概率的古典定义170

6.2.3 概率的几何定义172

6.2.4 概率的公理化定义173

6.2.5 概率的性质174

6.3 条件概率176

6.3.1 条件概率及乘法公式176

6.3.2 事件的独立性179

6.3.3 贝努利概型180

6.4 全概率公式与贝叶斯公式181

6.4.1 全概率公式181

6.4.2 贝叶斯公式183

6.5 随机变量及其分布185

6.5.1 随机变量185

6.5.2 离散型随机变量186

6.5.3 连续型随机变量189

6.5.4 分布函数192

6.5.5 随机变量函数195

6.6 二维随机变量196

6.6.1 二维随机变量及其联合分布197

6.6.2 二维随机变量的边缘分布198

6.6.3 二维离散型随机变量的分布律198

6.6.4 二维连续型随机变量的分布200

6.6.5 二维随机变量的独立性202

6.7 随机变量的数字特征204

6.7.1 数学期望204

6.7.2 随机变量的方差209

6.7.3 协方差及相关系数211

6.8 大数定律以及中心极限定理214

6.8.1 大数定律214

6.8.2 中心极限定理215

习题6216

7 线性代数初步224

7.1 行列式的定义和性质224

7.1.1 二阶和三阶行列式224

7.1.2 n阶行列式226

7.1.3 n阶行列式的性质228

7.1.4 克拉默法则233

7.2 矩阵236

7.2.1 矩阵的概念236

7.2.2 矩阵的运算237

7.2.3 矩阵的逆240

7.2.4 矩阵的秩与初等变换242

7.2.5 利用矩阵的初等变换求解线性方程组244

7.3 n维向量249

7.3.1 n维向量的定义249

7.3.2 向量组的线性相关和线性无关250

7.3.3 向量组的秩252

7.3.4 向量空间254

7.3.5 线性方程组解的结构255

7.3.6 矩阵的特征值和特征向量259

习题7262

习题答案267

附表1 泊松分布表283

附表2 标准正态分布函数表285

参考文献287