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第一章 数学预备知识1

1 有限元方法概述1

前言页1

2 场论基础3

2.1 场的概念3

2.2 标量场的梯度4

2.3 矢量场的散度6

2.4 矢量场的旋度9

2.5 Hamilton算子12

2.6 Green-Gauss公式14

3 矢量及指标表述法15

3.1 符号与约定16

3.2 矢量及其运算的指标表述18

3.3 正交曲线坐标系中指标表述21

4.1 坐标变换下的标量与矢量30

4 张量初步30

4.2 张量定义33

4.3 并矢张量与矢量场梯度35

4.4 张量运算36

5 泛函分析中的某些概念40

5.1 距离空间40

5.2 Banach空间43

5.3 Hilbert空间45

5.4 H空间的基函数48

5.5 算子50

习题一55

第二章 变分原理与Ritz法57

1 变分概述57

1.1 变分定义57

1.2 变分运算的基本法则58

1.3 泛函的极值问题60

1.4 Euler方程61

2 数学物理中的变分问题63

2.1 短程线问题63

2.2 最速降线问题65

2.3 Hamilton原理66

2.4 最小位能原理68

3 Hilbert空间的变分原理74

3.1 变分原理75

3.2 应用举例76

3.3 一般椭圆型方程的变分原理79

3.4 自然边界条件83

4 Ritz法85

4.1 极小化序列85

4.2 Ritz法的解题步骤86

4.3 Ritz法的收敛性87

4.4 计算举例88

习题二96

第三章 ГaЛepkиH加权余量法98

1 几种常用的加权余量法98

1.1 基本思想98

1.2 配置法100

1.3 最小二乘法102

1.4 矩量法104

1.5 ГaЛepkиH法105

2 ГaЛepkиH法106

2.1 ГaЛepkиH法的力学原理106

2.2 ГaЛepkиH法与Ritz法的关系109

2.3 自然边界条件的处理，强解与弱解111

2.4 计算举例114

3.1 初值问题的ГaЛepkиH积分表达式119

3 ГaЛepkиH法求解不定常初值问题119

3.2 近似解的确定121

3.3 计算举例124

4 ГaЛepkиH法求解非线性问题129

4.1 非线性问题的特点129

4.2 求解非线性代数方程组131

习题三132

第四章 有限元方法135

1 基本原理与解题步骤135

1.1 有限元方法的基本原理135

1.2 有限元方法解题步骤136

2 有限元方法解题分析138

2.1 写出积分表达式138

2.2 区域剖分139

2.3 确定单元基函数144

2.4 单元分析148

2.5 总体合成150

2.6 边界条件的处理152

2.7 解有限元方程，计算有关物理量155

3 有限元方法求解二维问题156

3.1 写出积分表达式156

3.2 区域剖分157

3.3 确定单元基函数157

3.4 单元分析159

3.5 总体合成161

3.6 边界条件的处理164

3.7 解有限元方程165

4 非线性定常问题的有限元方法165

5 不定常问题的有限元方法168

6.1 概述171

6 有限元方法计算程序171

6.2 计算程序的编制172

6.3 Laplace方程有限元方法计算源程序174

习题四180

第五章 有限元插值函数182

1 概述182

1.1 协调条件与完备条件182

1.2 插值函数的类型183

1.3 单元的自由度185

1.4 插值多项式的阶次与项数185

2 一维有限元186

2.1 Lagrange插值多项式187

2.2 Hormite插值多项式191

3.1 直角坐标系中的Lagrange线性多项式193

3 二维三角形单元的Lagrange插值函数193

3.2 三角形面积坐标194

3.3 Lagrange高次插值多项式197

3.4 面积坐标的积分201

3.5 单元分析举例204

4 二维矩形单元208

4.1 边界结点插值209

4.2 双向结点插值213

4.3 单元分析举例216

5 二维Hermite插值函数220

5.1 三角形单元的Hermite插值函数220

5.2 矩形单元的Hermite插值多项式223

6 二维等参数单元226

6.1 曲线三角形的等参数单元227

6.2 曲线四边形的等参数单元229

6.3 等参数有限元分析举例232

7.1 四面体单元236

7 三维单元236

7.2 矩形六面体单元239

7.3 六面体等参数单元242

7.4 轴对称单元244

8 有限元的Gauss数值积分244

习题五249

第六章 有限元方程数值计算方法251

1 概述251

2 一般线性代数方程组的解法251

2.1 Gauss消去法252

2.2 迭代法255

3 带状线性方程组的列主元消去法258

3.1 计算方法258

3.2 非对称带状线性方程组的计算源程序262

4.1 解题方法265

4 对称正定带状方程组定带宽储存解法265

4.2 定带宽储存格式268

4.3 LDLT分解法定带宽储存计算源程序形式参数表270

5 大型稀疏对称正定方程组变带宽储存解法272

5.1 解题方法272

5.2 变带宽储存格式275

5.3 LDLT分解法变带宽储存计算源程序形式参数表276

6.1 Newton-Raphson法281

6.2 下降法282

6.3 下降法计算源程序285

7 常微分方程组的解法286

7.1 Euler法287

6 非线性代数方程组解法289

7.2 中点法289

7.4 定步长Runge-Kutta法计算源程序290

7.3 Runge-Kutta法290

习题六291

第七章 流体力学基本原理和基本方程294

1 流体运动的描述294

1.1 物质坐标与空间坐标294

1.2 流体质点的随体导数295

1.3 速度的分解与变形速度张量298

1.4 流体的涡旋运动300

2 流体内部应力的描述：应力张量301

3 流体力学基本方程304

3.1 连续性方程304

3.2 运动方程305

3.3 能量方程306

3.4 本构方程308

3.5 状态方程309

3.6 基本方程的初边值条件310

习题七311

第八章 二维不可压无粘性流动313

1 数学描述313

1.1 流函数314

1.2 速度势函数315

1.3 流函数方程，速度势方程及其边界条件316

1.4 Bernoulli方程318

2 有限元分析320

2.1 流函数ψ的解320

2.2 速度势φ的解322

2.3 速度与压力的确定323

3 圆柱体绕流有限元实例分析325

3.1 问题的提法与边界条件325

3.2 流函数有限元解327

3.3 速度势有限元解336

4.1 轴对称问题与数学方程337

4 轴对称流动等参数有限元实例分析337

4.2 等参数有限元分析计算339

5 多体绕流问题346

6 有升力物体绕流349

7 具有自由面的位势流动352

7.1 概述352

7.2 迭代法355

7.3 变分方法359

参考文献368

第九章 不可压粘性流动370

1 数学描述的几种形式370

2 基本变量解374

2.1 有限元分析374

2.2 定常流动解379

2.3 不定常流动解385

2.4 算例389

3 流函数涡量解394

3.1 有限元分析395

3.2 涡量的边界条件397

3.3 有限元方程的求解399

3.4 算例400

4 流函数解405

4.1 有限元分析405

4.2 算例407

5 集中系数矩阵方法411

参考文献416

第十章 对流扩散问题419

1 基本原理419

2 有限元分析422

3.1 扩散问题424

3 对流扩散方程的应用424

3.2 湖泊的水力热力分析426

3.3 热流动问题428

3.4 污染浓度的对流扩散430

参考文献435

第十一章 对流问题的迎风有限元方法437

1 概述437

2 一维迎风有限元格式439

3 二维迎风有限元格式445

4 简化的迎风有限元格式450

5 应用举例454

参考文献457

第十二章 浅水环流459

1 浅水方程459

1.1 物理模型459

1.2 边界条件462

1.3 浅水方程463

2 有限元分析470

3 应用举例474

参考文献484

第十三章 流体润滑问题486

1 润滑流体运动的数学描述486

1.1 流体润滑的物理模型与Reynolds方程486

1.2 粘性系数公式493

1.3 热能量方程494

2 等温状态的有限元分析496

3 热流动状态的有限元分析499

4 计算举例503

5 应用举例507

参考文献515

参考资料517