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第1章 预备知识与误差理论1

1.1 线性代数的一些基础知识1

1.1.1 几种常见矩阵及其性质1

1.1.2 矩阵的特征值问题与对角化2

1.1.3 线性空间与内积空间4

1.1.4 向量范数6

1.1.5 矩阵范数与矩阵的算子范数8

1.2 误差11

1.2.1 误差的来源与分类11

1.2.2 误差与有效数字12

1.2.3 数值运算中的误差估计14

1.2.4 病态问题与算法稳定性分析15

1.2.5 避免误差危害与数值计算中算法设计17

习题118

第2章 解线性方程组的直接法20

2.1 高斯消去法21

2.1.1 基本高斯消去法21

2.1.2 列主元高斯消去法24

2.2 矩阵三角分解26

2.2.1 LU分解26

2.2.2 三对角方程组的追赶法31

2.2.3 对称矩阵的三角分解33

2.2.4 平方根法34

2.3 矩阵条件数与病态方程组36

2.3.1 病态现象与条件数36

2.3.2 线性方程组的误差分析38

2.3.3 病态线性方程组40

2.4 豪斯霍尔德变换与QR分解40

习题246

第3章 解线性方程组的迭代法48

3.1 经典迭代法的基本概念48

3.1.1 雅可比迭代法49

3.1.2 高斯赛德尔迭代法50

3.1.3 逐次超松弛迭代法52

3.2 迭代法的收敛性54

3.3 共轭梯度法57

3.3.1 最速下降法57

3.3.2 共轭梯度法58

习题359

第4章 非线性方程与方程组的迭代解法61

4.1 根的搜索61

4.2 压缩映像原理与不动点迭代法63

4.2.1 不动点迭代法的基本思想63

4.2.2 压缩映像原理65

4.2.3 不动点迭代法的收敛性66

4.3 牛顿迭代法及其变形68

4.3.1 牛顿迭代法及其收敛性68

4.3.2 牛顿迭代法的修正70

4.3.3 重根的迭代法73

4.4 迭代收敛的加速方法74

4.4.1 埃特金加速收敛方法74

4.4.2 斯特芬森迭代法74

4.5 求解非线性方程组的迭代法76

4.5.1 多变量的不动点迭代法76

4.5.2 多变量的牛顿迭代法78

习题479

第5章 矩阵特征值和特征向量的迭代算法81

5.1 幂迭代法82

5.1.1 幂迭代法原理82

5.1.2 加速收敛的方法85

5.1.3 反幂法86

5.2 QR迭代法88

5.2.1 QR迭代法的原理88

5.2.2 黑森伯格矩阵90

习题595

第6章 插值法96

6.1 插值问题的提出96

6.2 多项式插值97

6.3 拉格朗日插值方法97

6.3.1 拉格朗日插值97

6.3.2 插值余项99

6.4 牛顿插值多项式102

6.4.1 差商形式的牛顿插值多项式102

6.4.2 差商的基本性质104

6.4.3 差分形式的牛顿插值多项式105

6.5 埃尔米特插值多项式108

6.5.1 构造基函数方法108

6.5.2 待定系数法110

6.5.3 重节点差商法111

6.6 分段低次插值111

6.6.1 高次插值多项式的缺陷111

6.6.2 分段线性插值113

6.6.3 分段三次埃尔米特插值114

6.7 三次样条插值115

6.7.1 三次样条插值问题的基本提法115

6.7.2 三次样条插值公式116

6.7.3 误差阶与收敛性118

6.8 B-样条插值119

6.8.1 B-样条函数119

6.8.2 m次样条函数空间120

6.8.3 B-样条插值122

习题6122

第7章 函数逼近与曲线拟合126

7.1 交多项式127

7.1.1 正交函数族127

7.1.2 正交多项式的性质128

7.1.3 勒让德多项式130

7.1.4 切比雪夫多项式130

7.1.5 切比雪夫多项式零点插值132

7.2 最佳平方逼近134

7.2.1 最佳平方逼近及其误差分析134

7.2.2 用正交函数族作最佳平方逼近137

7.3 曲线拟合的最小二乘法140

7.3.1 最小二乘拟合问题140

7.3.2 非线性最小二乘拟合的线性化142

7.3.3 用正交多项式作最小二乘拟合145

习题7146

第8章 数值积分与数值微分148

8.1 数值积分的基本概念149

8.1.1 插值型求积公式150

8.1.2 求积公式的代数精度150

8.2 牛顿-科特斯求积公式151

8.2.1 牛顿-科特斯公式151

8.2.2 几种常用的牛顿-科特斯求积公式153

8.3 复化求积公式155

8.3.1 复化梯形求积公式155

8.3.2 复化辛普森求积公式156

8.3.3 复化科特斯求积公式157

8.4 龙贝格积分方法158

8.4.1 后验误差估计158

8.4.2 变步长梯形公式159

8.4.3 理查森外推法159

8.4.4 龙贝格算法161

8.5 高斯求积公式162

8.5.1 高斯型求积公式的建立162

8.5.2 高斯求积公式的余项164

8.5.3 高斯-勒让德求积公式165

8.5.4 高斯-切比雪夫求积公式167

8.6 数值微分167

8.6.1 差商公式及误差分析167

8.6.2 插值型求导公式168

8.6.3 三次样条求导170

习题8171

第9章 常微分方程的初值问题173

9.1 引言173

9.2 常微分方程初值问题的一般方法174

9.2.1 单步方法和多步方法176

9.2.2 显式方法和隐式方法177

9.2.3 局部截断误差和整体截断误差177

9.2.4 线性多步法的相容性与收敛性178

9.2.5 线性多步法的稳定性与绝对稳定域178

9.3 常微分方程初值问题的高阶单步法182

9.3.1 泰勒级数法183

9.3.2 龙格-库塔方法184

9.4 高阶单步方法的性态分析及改进187

9.5 线性多步法——亚当斯方法和吉尔方法190

9.5.1 亚当斯-巴什福思方法191

9.5.2 亚当斯-莫尔顿方法192

9.5.3 吉尔方法192

9.6 一般线性多步方法的构造193

9.7 一阶常微分方程组196

9.8 刚性问题199

9.8.1 隐式龙格-库塔方法200

9.8.2 吉尔方法202

习题9203

第10章 求解微分方程的有限差分法205

10.1 解两点边值问题的差分方法205

10.2 在矩形区域上求解椭圆边值问题的差分方法209

10.2.1 第一类边值条件212

10.2.2 第二、第三类边值条件213

10.3 在三角形网格上求解椭圆型方程的有限差分法214

10.4 椭圆差分方程的性态研究215

10.5 扩散方程的有限差分法220

10.5.1 扩散方程的离散220

10.5.2 古典显格式223

10.5.3 古典隐格式223

10.5.4 克兰克-尼科尔森格式224

10.5.5 最高截断误差阶的两层加权平均格式224

10.5.6 理查森格式225

10.6 对流方程的差分格式228

10.7 波动方程的差分离散231

习题10233

第11章 求解微分方程的有限元法简介238

11.1 变分问题238

11.1.1 两点边值问题的变分形式238

11.1.2 泛函和变分241

11.1.3 两点边值问题的变分形式243

11.1.4 椭圆型方程的变分形式245

11.2 泛函的极值问题250

11.2.1 泛函的极值问题的存在性250

11.2.2 与椭圆型方程相应的泛函极值问题252

11.2.3 极值问题与变分问题之间的联系254

11.3 变分和泛函极值问题的近似求解256

11.3.1 变分和泛函极值问题的进一步讨论256

11.3.2 里茨法260

11.3.3 伽辽金法263

11.4 解椭圆型问题的有限元方法265

11.4.1 基于变分问题的有限元方法265

11.4.2 基于泛函极值问题的有限元方法269

习题11274

习题答案或提示276

参考文献283