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第1章 函数1

1.1 基本概念1

1.1.1 集合、区间、绝对值和邻域1

1.1.2 函数的定义4

1.1.3 具有某种特性的函数5

1.1.4 函数的四则运算、复合函数和反函数8

习题1.110

1.2 初等函数12

1.2.1 基本初等函数12

1.2.2 初等函数的定义及其范例16

习题1.218

1.3 函数关系的几种表示方法19

1.3.1 函数的分段表示20

1.3.2 函数的隐式表示21

1.3.3 函数的参数表示21

习题1.323

复习题125

第2章 数列及其极限27

2.1 数列的极限27

2.1.1 数列27

2.1.2 收敛数列29

2.1.3 数列和子数列之间的关系33

2.1.4 数列中的无穷小量和无穷大量34

2.1.5 数列极限的基本性质36

习题2.137

2.2 数列极限的运算法则38

2.2.1 四则运算法则38

2.2.2 夹逼准则40

2.2.3 单调有界原理和一个重要的极限42

习题2.245

复习题246

第3章 函数的极限与连续48

3.1 函数的极限48

3.1.1 函数极限的定义48

3.1.2 无穷小量和无穷大量54

习题3.157

3.2 函数极限的性质和运算法则58

3.2.1 函数极限的基本性质58

3.2.2 函数极限的运算法则60

3.2.3 夹逼准则和两个重要的极限63

习题3.266

3.3 无穷小量的比较68

3.3.1 无穷小量的阶68

3.3.2 等价无穷小的替换原理70

习题3.372

3.4 连续函数73

3.4.1 连续函数的定义73

3.4.2 函数的间断点75

习题3.477

3.5 连续函数的运算和性质79

3.5.1 连续函数的运算79

3.5.2 初等函数的连续性80

3.5.3 闭区间上连续函数的性质81

习题3.584

复习题385

第4章 导数与微分87

4.1 基本概念87

4.1.1 两个典型问题87

4.1.2 导数的定义89

4.1.3 导数的几何解释93

4.1.4 可导与连续的关系94

习题4.196

4.2 导数的运算法则97

4.2.1 导数的四则运算法则98

4.2.2 反函数的导数100

4.2.3 复合函数的导数101

4.2.4 初等函数的导数103

习题4.2103

4.3 高阶导数105

4.3.1 高阶导数的定义105

4.3.2 高阶导数的运算法则107

习题4.3108

4.4 隐函数的导数109

4.4.1 由一个方程确定的隐函数的导数109

4.4.2 由参数方程确定的函数的导数112

习题4.4113

4.5 函数的微分115

4.5.1 引例115

4.5.2 微分的定义116

4.5.3 微分的几何解释117

4.5.4 微分的运算法则和公式118

4.5.5 微分在近似计算中的应用120

习题4.5121

复习题4122

第5章 微分中值定理及其应用124

5.1 微分中值定理124

5.1.1 罗尔定理124

5.1.2 拉格朗日中值定理127

5.1.3 柯西中值定理130

习题5.1131

5.2 洛必达法则133

5.2.1 0/0型未定式的极限133

5.2.2 ∞/∞型未定式的极限135

5.2.3 其他未定式的极限137

习题5.2139

5.3 泰勒公式140

5.3.1 泰勒定理140

5.3.2 泰勒公式的应用145

习题5.3146

5.4 函数的性态（Ⅰ）——单调性与凸性146

5.4.1 函数的单调性147

5.4.2 函数的凸性及其拐点150

习题5.4154

5.5 函数的性态（Ⅱ）——极值与最值155

5.5.1 函数的极值155

5.5.2 最大值与最小值159

5.5.3 应用举例160

习题5.5162

5.6 函数图形的描绘163

5.6.1 曲线的渐近线163

5.6.2 函数的性态表与作图166

习题5.6168

5.7 曲率169

5.7.1 弧微分169

5.7.2 曲率及其计算公式170

5.7.3 曲率圆与曲率半径172

习题5.7173

复习题5173

第6章 不定积分176

6.1 基本概念及性质176

6.1.1 原函数176

6.1.2 不定积分的定义177

6.1.3 不定积分的几何解释178

6.1.4 基本积分公式179

6.1.5 不定积分的性质179

习题6.1182

6.2 换元积分法183

6.2.1 第一类换元积分法183

6.2.2 第二类换元积分法188

习题6.2192

6.3 分部积分法193

习题6.3197

6.4 有理函数的积分及其应用198

6.4.1 有理函数的积分198

6.4.2 简单的无理函数的积分201

6.4.3 三角函数有理式的积分202

习题6.4203

复习题6204

第7章 定积分及其应用206

7.1 定积分的概念206

7.1.1 引例206

7.1.2 定积分的定义208

7.1.3 定积分的几何解释209

习题7.1211

7.2 定积分的存在条件及其性质211

7.2.1 定积分的存在条件212

7.2.2 定积分的性质212

习题7.2216

7.3 微积分基本公式217

7.3.1 积分上限的函数及其导数218

7.3.2 牛顿-莱布尼茨公式220

习题7.3222

7.4 换元积分法和分部积分法224

7.4.1 定积分的换元法224

7.4.2 定积分的分部积分法227

习题7.4229

7.5 反常积分230

7.5.1 无穷区间上的反常积分231

7.5.2 无界函数的反常积分233

习题7.5235

7.6 定积分在几何中的应用236

7.6.1 定积分的微元法236

7.6.2 平面图形的面积237

7.6.3 旋转体的体积240

7.6.4 平行截面面积为已知的立体的体积242

7.6.5 平面曲线的弧长243

习题7.6245

复习题7247

第8章 常微分方程249

8.1 微分方程的基本概念249

8.1.1 引例249

8.1.2 基本概念251

习题8.1253

8.2 常微分方程的初等积分法（Ⅰ）254

8.2.1 分离变量方程255

8.2.2 一阶线性微分方程257

8.2.3 伯努利方程259

习题8.2261

8.3 常微分方程的初等积分法（Ⅱ）262

8.3.1 齐次方程262

8.3.2 可降阶的二阶微分方程265

8.3.3 其他类型的常微分方程268

习题8.3269

8.4 高阶线性微分方程270

8.4.1 二阶线性微分方程解的性质271

8.4.2 二阶线性微分方程的通解271

习题8.4274

8.5 高阶常系数线性微分方程275

8.5.1 n阶常系数齐次线性微分方程的解法275

8.5.2 高阶常系数非齐次线性微分方程的解法280

习题8.5283

8.6 微分方程的应用举例284

复习题8290

习题答案及提示293