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第1章 绪论1

1.1 引言1

1.2 误差的基本概念4

1.3 浮点数系8

1.4 计算复杂性和收敛速度11

1.5 敏度分析与误差分析12

1.6 常用数学软件介绍14

习题19

上机习题21

第2章 多项式插值方法22

2.1 引言22

2.2 插值多项式的存在惟一性23

2.3 Lagrange插值方法25

2.4 Newton插值方法28

2.5 分段低阶多项式插值方法33

2.5.1 Runge现象33

2.5.2 分段线性插值方法35

2.5.3 两点三次Hermite插值方法37

2.5.4 分段三次Hermite插值方法39

2.5.5 三次样条插值方法41

习题44

上机习题46

第3章 数值微分与数值积分48

3.1 引言48

3.2 数值微分48

3.2.1 差商型求导公式48

3.2.2 插值型求导公式52

3.3.1 数值积分的基本概念55

3.3 数值积分55

3.3.2 中点公式、梯形公式与Simpson公式56

3.3.3 复合求积公式58

3.3.4 加速收敛技术与Romberg求积方法62

3.3.5 Gauss求积公式64

3.3.6 积分方程的数值解70

习题71

上机习题74

第4章 线性方程组的数值解法77

4.1 消元法78

4.1.1 三角形方程组的解法79

4.1.2 消元法和矩阵的三角分解80

4.1.3 列选主元的三角分解84

4.2 平方根法和追赶法87

4.2.1 平方根法88

4.2.2 追赶法91

4.3 敏感性与稳定性分析93

4.3.1 向量范数和矩阵范数94

4.3.2 线性方程组的敏感性分析95

4.3.3 数值方法的稳定性分析97

4.4 古典迭代法98

4.4.1 基本迭代法99

4.4.2 收敛性分析102

4.4.3 收敛速度104

4.5 Krylov子空间方法105

4.5.1 最速下降法106

4.5.2 共轭梯度法108

4.5.3 广义极小剩余法112

习题115

上机习题119

第5章 最小二乘问题的数值解法123

5.1 引言123

5.2 变换法126

5.3 交分解法128

5.3.1 Householder变换130

5.3.2 Givens变换133

5.3.3 计算QR分解的Householder方法134

5.4 亏秩最小二乘问题的数值解法136

习题138

上机习题139

第6章 矩阵特征值和特征向量的计算141

6.1 基本迭代法142

6.1.1 幂法142

6.1.2 反幂法145

6.1.3 Rayleigh商迭代147

6.1.4 收缩技巧149

6.1.5 子空间迭代法150

6.2 QR方法152

习题159

上机习题161

第7章 非线性方程（组）与无约束最优化问题的数值解法163

7.1 引言163

7.2 非线性方程的迭代解法164

7.2.1 对分区间法164

7.2.2 不动点迭代法166

7.2.3 Newton迭代法170

7.3 非线性方程组的迭代解法173

7.3.1 非线性古典迭代法174

7.3.2 Newton迭代法及其改进算法175

7.4 无约束最优化问题的迭代解法179

7.4.1 一维搜索法180

7.4.2 最速下降法184

7.4.3 共轭梯度法186

7.4.4 Newton法187

7.4.5 拟Newton法188

7.5 非线性最小二乘问题192

7.5.1 Gauss-Newton法194

7.5.2 Levenberg-Marquardt方法196

习题197

上机习题199

第8章 常微分方程初值问题的数值解法203

8.1 基本概念203

8.2 Euler方法205

8.2.1 Euler格式及其稳定性205

8.2.2 局部误差和方法的阶209

8.2.3 Euler方法的误差分析211

8.3.1 Runge-Kutta方法的基本思想213

8.3 Runge-Kutta方法213

8.3.2 显式Runge-Kutta方法及其稳定性217

8.3.3 隐式Runge-Kutta方法222

8.4 线性多步法与预估－校正格式226

8.5 方程组及高阶方程数值解法230

8.6 分子动力学的数值方法232

习题234

上机习题235

第9章 偏微分方程数值解法237

9.1 引言237

9.2 抛物型方程的差分方法238

9.3 双曲型方程的差分方法250

9.4 椭圆型方程的有限元方法257

9.4.1 两点边值问题的Galerkin方法与有限元方法257

9.4.2 二维Poisson方程的有限元方法265

习题271

上机习题273

10.1 快速Fourier变换274

10.1.1 离散Fourier变换274

第10章 快速算法274

10.1.2 快速算法276

10.1.3 应用举例281

10.2 预处理加速技术282

10.3 迭代法的磨光性质285

10.3.1 两点边值问题286

10.3.2 Richardson迭代286

10.3.3 迭代的光滑作用288

10.4 多重网格法简介291

10.4.1 粗网格校正和二重网格方法291

10.4.2 多重粗网格校正和多重网格方法295

习题297

上机习题298

第11章 随机模拟方法299

11.1 Monte Carlo方法299

11.1.1 引言299

11.1.2 随机数的产生303

11.1.3 减小方差技巧309

11.1.4 Metropolis算法316

11.1.5 模拟退火算法326

11.1.6 拟Monte Carlo方法331

11.2 随机微分方程的数值解336

11.2.1 引言336

11.2.2 随机过程337

11.2.3 Brown运动340

11.2.4 随机微分方程与It？积分345

11.2.5 随机微分方程的数值解353

习题359

上机习题359

参考文献361