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第一章 数学物理方程概述1

1偏微分方程举例和基本概念1

1.1偏微分方程举例1

1.2基本概念2

2方程及定解问题的物理推导3

2.1弦振动方程3

2.2薄膜平衡方程5

2.3热传导方程7

2.4定解条件和定解问题10

3两个重要原理13

3.1杜阿梅尔原理13

3.2叠加原理16

习题一18

第二章 分离变量法和积分变换法20

1齐次方程的第一初边值问题20

1.1有界弦的自由振动20

1.2解的物理意义25

1.3热传导方程的第一初边值问题26

2齐次方程的第二初边值问题28

2.1热传导方程的第二齐边值问题28

2.2弦振动方程的第二初边值问题30

3二维拉普拉斯方程32

3.1圆域内的第一边值问题32

3.2圆域外的第一边值问题35

4非齐次定解问题的解法36

4.1非齐次方程的求解36

4.2非齐次边界条件的处理40

4.3特殊的方程非齐次项处理41

5积分变换法43

5.1傅里叶变换法43

5.2拉普拉斯变换法50

习题二53

第三章 行波法56

1弦振动方程的初值问题56

1.1达朗贝尔公式56

1.2达朗贝尔解的物理意义58

1.3二阶偏微分方程的分类59

2高维齐次波动方程63

2.1三维波动方程（平均值法）63

2.2二维波动方程（降维法）65

2.3泊松公式的物理意义66

3非齐次波动方程68

习题三70

第四章 格林函数法72

1拉普拉斯方程边值问题的提法72

2调和函数74

2.1格林公式74

2.2拉普拉斯方程的对称解75

2.3调和函数的基本性质76

3格林函数80

3.1格林函数的定义80

3.2格林函数的性质和物理意义81

4几类特殊区域问题的求解82

习题四85

第五章 勒让德多项式87

1勒让德方程的导出87

2勒让德方程的幂级数解88

3勒让德多项式91

4勒让德多项式的母函数及其递推公式93

4.1勒让德多项式的母函数93

4.2勒让德多项式的递推公式95

5勒让德多项式的正交性96

6勒让德多项式的应用98

习题五102

第六章 贝塞尔函数104

1贝塞尔方程的导出104

2贝塞尔方程的级数解105

2.1贝塞尔方程的求解105

2.2贝塞尔方程的通解108

3贝塞尔函数的母函数及递推公式109

3.1贝塞尔函数的母函数109

3.2贝塞尔函数的递推公式110

4函数展成贝塞尔函数的级数113

4.1贝塞尔函数零点的性质114

4.2贝塞尔函数的正交性和归一性114

4.3展开定理的叙述116

5贝塞尔函数的应用117

习题六121

第七章 变分法123

1泛函和泛函的极值问题123

1.1基本概念123

1.2变分法基本引理125

1.3泛函极值的必要条件125

1.4泛函极值的充分条件129

2泛函的条件极值问题131

2.1泛函的条件极值及其必要条件131

2.2应用举例133

3变分法应用135

3.1泛函极值问题与边值问题135

3.2泛函极值问题的近似解法137

习题七140

第八章 数学物理方程的有限差分法142

1差分方程的构造142

2调和方程的差分格式144

3热传导方程的差分格式146

4波动方程的差分格式148

习题八150

第九章 定解问题的适定性151

1适定性的概念151

2古典解的存在性152

3古典解的唯一性和稳定性154

3.1能量积分155

3.2古典解的唯一性156

3.3古典解的稳定性157

习题九158

附录Ⅰ 一般形式的二阶线性常微分方程固有值问题的一些结论160

附录Ⅱ Γ函数的定义和基本性质162

部分习题参考答案164

参考文献169