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目录1

前言1

绪论1

Ⅰ 不定积分表4

Ⅰ.1　初等函数的不定积分4

Ⅰ.1.1　基本积分公式4

Ⅰ.1.2　包含多项式、有理分式和无理分式的不定积分6

Ⅰ.1.2.1　含有a+bx的积分6

Ⅰ.1.2.2　含有a+bx和c+dx的积分10

Ⅰ.1.2.3　含有a+bxn的积分11

Ⅰ.1.2.4　含有1±xn的积分14

Ⅰ.1.2.5　含有c2+x2的积分17

Ⅰ.1.2.6　含有c2-x2的积分18

Ⅰ.1.2.7　含有c3±x3的积分20

Ⅰ.1.2.8　含有c4+x4的积分21

Ⅰ.1.2.9　含有c4-x4的积分22

Ⅰ.1.2.10　含有a+bx+cx2的积分23

Ⅰ.1.2.11　含有a+bxk和？的积分25

Ⅰ.1.2.12　含有？和α+βx的积分27

Ⅰ.1.2.13　含有？和？的积分30

Ⅰ.1.2.14　含有？和？的积分32

Ⅰ.1.2.15　含有？的积分36

Ⅰ.1.2.16　含有？的积分41

Ⅰ.1.2.17　含有？的积分46

Ⅰ.1.2.18　含有？和？的积分49

Ⅰ.1.2.19　含有？和xn的积分50

Ⅰ.1.2.20　含有？的积分53

Ⅰ.1.2.21　其他形式的代数函数的积分54

Ⅰ.1.3.1　含有sinnax,cosnax,tannax,cotnax,secnax,cscnax的积分59

Ⅰ.1.3　三角函数和反三角函数的不定积分59

Ⅰ.1.3.2　含有sinmaxcosnax的积分62

Ⅰ.1.3.3　含有？和？的积分63

Ⅰ.1.3.4　含有xmsinnax和xmcosnax的积分65

Ⅰ.1.3.5　含有？,？,？,？的积分67

Ⅰ.1.3.6 含有？的积分69

Ⅰ.1.3.7　含有sinaxsinbx和cosaxcosbx的积分70

Ⅰ.1.3.8　含有sin(ax+b),cos（cx+d）和sin(ωt+？),cos（ωt+？）的积分72

Ⅰ.1.3.9　含有1±sinax和1±cosax的积分73

Ⅰ.1.3.10　含有1±bsinax和1±bcosax的积分75

Ⅰ.1.3.11 含有1±bsin2ax和1±bcos2ax的积分77

Ⅰ.1.3.12　含有a±bsinx和a±bcosx的积分79

Ⅰ.1.3.13　含有psinax+qcosax的积分82

Ⅰ.1.3.14　含有p2sin2ax±q2cos2ax的积分83

Ⅰ.1.3.15　含有？和？的积分84

Ⅰ.1.3.16 含有？和？的积分85

Ⅰ.1.3.17　含有sinnx和cosnx的积分88

Ⅰ.1.3.18　含有sinpx,cospx与sinnx,cosnx组合的积分90

Ⅰ.1.3.19　含有sinx2,cosx2和更复杂自变数的三角函数的积分95

Ⅰ.1.3.20　含有sinx和cosx的有理分式的积分96

Ⅰ.1.3.21　含有sinx和cosx的无理分式的积分98

Ⅰ.1.3.22　含有tanax和cotax的积分102

Ⅰ.1.3.23　三角函数与幂函数组合的积分103

Ⅰ.1.3.24　三角函数与指数函数和双曲函数组合的积分105

Ⅰ.1.3.25　含有arcsinax,arccosax,arctanax,arccotax,arcsecax,arccscax的积分107

Ⅰ.1.3.26　含有arcsin？,arccos？,arctan？,arccot？的积分110

Ⅰ.1.4　对数函数、指数函数和双曲函数的不定积分113

Ⅰ.1.4.1　对数函数的积分113

Ⅰ.1.4.2　指数函数的积分117

Ⅰ.1.4.3　双曲函数的积分122

Ⅰ.1.4.4　双曲函数与幂函数和指数函数组合的积分136

Ⅰ.1.4.5　反双曲函数的积分141

Ⅰ.2.1　完全椭圆积分的积分143

Ⅰ.2　特殊函数的不定积分143

Ⅰ.2.2　勒让德椭圆积分（不完全椭圆积分）的积分144

Ⅰ.2.3　雅可比椭圆函数的积分145

Ⅰ.2.4　指数积分函数的积分148

Ⅰ.2.5　正弦积分和余弦积分函数的积分148

Ⅰ.2.6　概率积分和菲涅耳函数的积分149

Ⅰ.2.7　贝塞尔函数的积分150

Ⅱ.1.1　幂函数和代数函数的定积分151

Ⅱ.1.1.1　含有xn和ap±xp的积分151

Ⅱ.1　初等函数的定积分151

Ⅱ 定积分表151

Ⅱ.1.1.2　含有an+xn和a+bxn的积分156

Ⅱ.1.1.3　含有？的积分162

Ⅱ.1.2　三角函数和反三角函数的定积分164

Ⅱ.1.2.1　含有sinnax,cosnax,tannax的积分，积分区间为［0,？］164

Ⅱ.1.2.2　含有sinnax,cosnax,tannax的积分，积分区间为［0,π］168

Ⅱ.1.2.3　含有sinnx和cosnx的积分，积分区间为［0,π］169

Ⅱ.1.2.4　含有sinnx和cosnx的积分，积分区间为［-π,π］171

Ⅱ.1.2.5 正弦和余弦的有理函数与倍角三角函数组合的积分172

Ⅱ.1.2.6　三角函数的幂函数的积分175

Ⅱ.1.2.7　三角函数的幂函数与线性函数的三角函数组合的积分176

Ⅱ.1.2.8　三角函数的幂函数与三角函数的有理函数组合的积分178

Ⅱ.1.2.9　含有三角函数的线性函数的幂函数的积分181

Ⅱ.1.2.10　其他形式的三角函数的幂函数的积分182

Ⅱ.1.2.11　更复杂自变数的三角函数的积分185

Ⅱ.1.2.12　三角函数与有理函数组合的积分189

Ⅱ.1.2.13　三角函数与无理函数组合的积分192

Ⅱ.1.2.14　三角函数与幂函数组合的积分193

Ⅱ.1.2.15　三角函数的有理函数与x的有理函数组合的积分194

Ⅱ.1.2.16　三角函数的幂函数与其他幂函数组合的积分199

Ⅱ.1.2.17　含有sinnax,cosnax,tannax和？组合的积分，积分区间为［0,∞］205

Ⅱ.1.2.18　含有函数？和？的积分207

Ⅱ.1.2.19　更复杂自变数的三角函数与幂函数组合的积分209

Ⅱ.1.2.20　三角函数与指数函数组合的积分211

Ⅱ.1.2.21　含有e-ax,sinmbx,cosnbx的积分，积分区间为［0,∞］213

Ⅱ.1.2.22　三角函数与三角函数的指数函数组合的积分215

Ⅱ.1.2.23　三角函数与指数函数和幂函数组合的积分216

Ⅱ.1.2.24　三角函数与双曲函数组合的积分218

Ⅱ.1.2.25　三角函数、双曲函数和幂函数组合的积分219

Ⅱ.1.2.26　三角函数、双曲函数和指数函数组合的积分219

Ⅱ.1.2.28　反三角函数与幂函数组合的积分220

Ⅱ.1.2.27　三角函数、双曲函数、指数函数和幂函数组合的积分220

Ⅱ.1.2.29　反三角函数与三角函数组合的积分223

Ⅱ.1.2.30　反三角函数与指数函数组合的积分224

Ⅱ.1.2.31　反三角函数与对数函数组合的积分225

Ⅱ.1.3　指数函数和对数函数的定积分225

Ⅱ.1.3.1　含有eax,e-ax,e-ax2的积分225

Ⅱ.1.3.2　含有更复杂自变数的指数函数的积分228

Ⅱ.1.3.3　指数函数与幂函数组合的积分229

Ⅱ.1.3.4　指数函数与有理函数组合的积分234

Ⅱ.1.3.5　指数函数与无理函数组合的积分235

Ⅱ.1.3.6　指数函数的代数函数与幂函数组合的积分236

Ⅱ.1.3.7　更复杂自变数的指数函数与幂函数组合的积分237

Ⅱ.1.3.8　含有对数函数lnx和（lnx）n的积分238

Ⅱ.1.3.9　含有更复杂自变数的对数函数的积分241

Ⅱ.1.3.10　对数函数与有理函数组合的积分243

Ⅱ.1.3.11　对数函数与无理函数组合的积分244

Ⅱ.1.3.12　对数函数与幂函数组合的积分244

Ⅱ.1.3.13　对数函数的幂函数与其他幂函数组合的积分246

Ⅱ.1.3.14　更复杂自变数的对数函数与幂函数组合的积分247

Ⅱ.1.3.15　对数函数与指数函数组合的积分252

Ⅱ.1.3.16　对数函数与三角函数组合的积分253

Ⅱ.1.3.17　对数函数与三角函数、指数函数和幂函数组合的积分256

Ⅱ.1.3.18　对数函数与双曲函数组合的积分257

Ⅱ.1.3.19　含有ln(sinx),ln(cosx),ln（tanx）的积分，积分区间为［0,？］，［0,π］258

Ⅱ.1.4　双曲函数和反双曲函数的定积分259

Ⅱ.1.4.1　含有sinhax和coshbx的积分，积分区间为［0,∞］259

Ⅱ.1.4.2　双曲函数与指数函数组合的积分265

Ⅱ.1.4.3　双曲函数与指数函数和幂函数组合的积分267

Ⅱ.1.4.4　反双曲函数的积分268

Ⅱ.1.5　重积分270

Ⅱ.1.5.1　积分次序和积分变量交换的积分270

Ⅱ.1.5.2　具有常数积分限的二重积分和三重积分271

Ⅱ.1.5.3　多重积分272

Ⅱ.2　特殊函数的定积分275

Ⅱ.2.1　椭圆函数的定积分275

Ⅱ.2.1.1　椭圆积分的积分275

Ⅱ.2.1.2　椭圆积分相对于模数的积分276

Ⅱ.2.1.3　完全椭圆积分相对于模数的积分277

Ⅱ.2.2　指数积分、正弦积分等函数的定积分278

Ⅱ.2.2.1　指数积分的积分278

Ⅱ.2.2.2　对数积分的积分279

Ⅱ.2.2.3　正弦积分和余弦积分函数的积分280

Ⅱ.2.2.5　概率积分函数的积分284

Ⅱ.2.2.4　双曲正弦积分和双曲余弦积分函数的积分284

Ⅱ.2.2.6　菲涅耳函数的积分287

Ⅱ.2.3　伽马（Gamma）函数的定积分288

Ⅱ.2.3.1　伽马函数的积分288

Ⅱ.2.3.2　伽马函数与三角函数组合的积分290

Ⅱ.2.3.3　伽马函数与指数函数和幂函数组合的积分290

Ⅱ.2.3.4　伽马函数的对数的积分292

Ⅱ.2.3.5　不完全伽马函数的积分293

Ⅱ.2.3.6　ψ函数的积分294

Ⅱ.2.4.1　贝塞尔函数的积分295

Ⅱ.2.4　贝塞尔（Bessel）函数的定积分295

Ⅱ.2.4.2　贝塞尔函数与x和x2组合的积分300

Ⅱ.2.4.3　贝塞尔函数与有理函数组合的积分302

Ⅱ.2.4.4　贝塞尔函数与无理函数组合的积分305

Ⅱ.2.4.5　贝塞尔函数与幂函数组合的积分306

Ⅱ.2.4.6　更复杂自变数的贝塞尔函数与幂函数组合的积分314

Ⅱ.2.4.7　贝塞尔函数与三角函数组合的积分317

Ⅱ.2.4.8　贝塞尔函数与三角函数和幂函数组合的积分326

Ⅱ.2.4.9　贝塞尔函数与三角函数、指数函数和幂函数组合的积分335

Ⅱ.2.4.11　贝塞尔函数与指数函数组合的积分339

Ⅱ.2.4.10　贝塞尔函数与三角函数和双曲函数组合的积分339

Ⅱ.2.4.12　贝塞尔函数与指数函数和幂函数组合的积分342

Ⅱ.2.4.13　更复杂自变数的贝塞尔函数与指数函数和幂函数组合的积分346

Ⅱ.2.4.14　贝塞尔函数与更复杂自变数的指数函数和幂函数组合的积分347

Ⅱ.2.4.15　贝塞尔函数与对数函数或反正切函数组合的积分348

Ⅱ.2.4.16　贝塞尔函数与双曲函数和指数函数组合的积分348

Ⅱ.2.4.17　贝塞尔函数与其他特殊函数组合的积分350

Ⅱ.2.5　由贝塞尔函数生成的函数的定积分352

Ⅱ.2.5.1　斯特鲁维（Struve）函数的积分352

Ⅱ.2.5.2　斯特鲁维（Struve）函数与三角函数组合的积分353

Ⅱ.2.5.3　斯特鲁维（Struve）函数与指数函数和幂函数组合的积分354

Ⅱ.2.5.4　斯特鲁维（Struve）函数与贝塞尔函数组合的积分355

Ⅱ.2.5.5　汤姆森（Thomson）函数的积分357

Ⅱ.2.5.6　洛默尔（Lommel）函数的积分358

Ⅱ.2.6　勒让德（Legendre）函数和连带勒让德函数的定积分360

Ⅱ.2.6.1　勒让德函数和连带勒让德函数的积分360

Ⅱ.2.6.2　连带勒让德函数与幂函数组合的积分362

Ⅱ.2.6.3　连带勒让德函数与三角函数和幂函数组合的积分365

Ⅱ.2.6.4　连带勒让德函数与指数函数和幂函数组合的积分367

Ⅱ.2.6.6　连带勒让德函数与概率积分函数组合的积分368

Ⅱ.2.6.5　连带勒让德函数与双曲函数组合的积分368

Ⅱ.2.6.7　连带勒让德函数与贝塞尔函数组合的积分369

Ⅱ.2.6.8　勒让德多项式与幂函数组合的积分370

Ⅱ.2.6.9　勒让德多项式与有理函数和无理函数组合的积分371

Ⅱ.2.6.10　勒让德多项式与其他初等函数组合的积分372

Ⅱ.2.6.11　勒让德多项式与贝塞尔函数组合的积分373

Ⅱ.2.7　正交多项式的定积分374

Ⅱ.2.7.1　埃尔米特（Hermite）多项式的积分374

Ⅱ.2.7.2　拉盖尔（Laguerre）多项式的积分376

Ⅱ.2.7.3　雅可比（Jacobi）多项式的积分379

Ⅱ.2.7.4　切比雪夫（Chebyshev）多项式与幂函数组合的积分381

Ⅱ.2.7.5　切比雪夫（Chebyshev）多项式与若干初等函数组合的积分382

Ⅱ.2.7.6　切比雪夫（Chebyshev）多项式与贝塞尔函数组合的积分383

Ⅱ.2.7.7　盖根鲍尔（Gegenbauer）多项式与幂函数组合的积分384

Ⅱ.2.7.8　盖根鲍尔（Gegenbauer）多项式与若干初等函数组合的积分385

Ⅱ.2.7.9　盖根鲍尔（Gegenbauer）多项式与贝塞尔函数组合的积分386

Ⅱ.2.8　超几何函数和合流超几何函数的定积分387

Ⅱ.2.8.1　超几何函数与幂函数组合的积分387

Ⅱ.2.8.2　超几何函数与三角函数组合的积分388

Ⅱ.2.8.3　超几何函数与指数函数组合的积分388

Ⅱ.2.8.4　超几何函数与贝塞尔函数组合的积分389

Ⅱ.2.8.5　合流超几何函数与幂函数组合的积分391

Ⅱ.2.8.6　合流超几何函数与三角函数组合的积分393

Ⅱ.2.8.7　合流超几何函数与指数函数组合的积分394

Ⅱ.2.8.8　合流超几何函数与贝塞尔函数和幂函数组合的积分396

Ⅱ.2.8.9　合流超几何函数与贝塞尔函数、指数函数和幂函数组合的积分398

Ⅱ.2.8.10　合流超几何函数与拉盖尔多项式、指数函数和幂函数组合的积分398

Ⅱ.2.9　马蒂厄（Mathieu）函数的定积分398

Ⅱ.2.9.1　马蒂厄（Mathieu）函数的积分398

Ⅱ.2.9.2　马蒂厄（Mathieu）函数与双曲函数和三角函数组合的积分399

Ⅱ.2.10.1　抛物柱面函数的积分401

Ⅱ.2.10　抛物柱面函数的定积分401

Ⅱ.2.9.3　马蒂厄（Mathieu）函数与贝塞尔函数组合的积分401

Ⅱ.2.10.2　抛物柱面函数与指数函数和幂函数组合的积分402

Ⅱ.2.10.3　抛物柱面函数与三角函数组合的积分403

Ⅱ.2.11　迈耶（Meijer）函数和麦克罗伯特（MacRobert）函数的定积分404

Ⅱ.2.11.1　迈耶（Meijer）函数与初等函数组合的积分404

Ⅱ.2.11.2　麦克罗伯特（MacRobert）函数与初等函数组合的积分407

Ⅱ.2.12　其他特殊函数的定积分408

Ⅱ.2.12.1　δ函数的积分408

Ⅱ.2.12.2　陀螺波函数的积分409

Ⅲ.1　拉普拉斯（Laplace）变换410

Ⅲ　积分变换表410

Ⅲ.2　傅里叶（Fourier）变换417

Ⅲ.3　傅里叶（Fourier）正弦变换422

Ⅲ.4　傅里叶（Fourier）余弦变换425

Ⅲ.5　梅林（Mellin）变换427

Ⅲ.6　汉克尔（Hankel）变换428

Ⅲ.7　希尔伯特（Hilbert）变换430

Ⅲ.8　Z变换431

Ⅳ.1.1.1　幂函数和代数函数434

Ⅳ.1.1　初等函数434

Ⅳ.1　常用函数的定义和性质434

Ⅳ 附录434

Ⅳ.1.1.2　指数函数和对数函数435

Ⅳ.1.1.3　三角函数和反三角函数436

Ⅳ.1.1.4　双曲函数和反双曲函数439

Ⅳ.1.2　特殊函数442

Ⅳ.1.2.1　Γ函数（第二类欧拉积分）442

Ⅳ.1.2.2　B函数（第一类欧拉积分）445

Ⅳ.1.2.3　ψ函数446

Ⅳ.1.2.4　误差函数erf（x）和补余误差函数erfc(x)447

Ⅳ.1.2.6　正弦积分Si(z),si（z）和余弦积分Ci(z),ci（z）449

Ⅳ.1.2.5　菲涅耳（Fresnel）函数S（z）和C（z）449

Ⅳ.1.2.7　指数积分Ei（z）和对数积分li(z)450

Ⅳ.1.2.8　勒让德（Legendre）椭圆积分F(k,？),E(k,？),Ⅱ(h,k,？)451

Ⅳ.1.2.9　完全椭圆积分K(k),E(k),Ⅱ(h,k)451

Ⅳ.1.2.10　雅可比（Jacobi）椭圆函数snu,cnu,dnu452

Ⅳ.1.2.11　贝塞尔（Bessel）函数（柱函数）Jv(z),Nv(z),453

Hv(1)(z),Hv(2)(z),Iv(z),Kv(z)453

Ⅳ.1.2.12　艾里（Airy）函数Ai(x),Bi（x）和艾里积分460

Ⅳ.1.2.13 斯特鲁维（Struve）函数Hv（z）和Lv(z)461

Ⅳ.1.2.14 汤姆森（Thomson）函数berv(z),beiv(z),herv(z),heiv(z),kerv(z),keiv(z)462

Ⅳ.1.2.15 洛默尔（Lommel）函数sμ,v（z）和Sμ,v(z)464

Ⅳ.1.2.16 安格尔（Anger）函数Jv（z）和韦伯（Weber）函数Ev(z)464

Ⅳ.1.2.17 诺伊曼（Neumann）多项式On(z)466

Ⅳ.1.2.18 施拉夫利（Schl？fli）多项式Sn(z)466

Ⅳ.1.2.19 球贝塞尔函数jl(z),nl(z),hl(1)(z),hl(2)(z)467

Ⅳ.1.2.20 勒让德（Legendre）函数（球函数）Pn（x）和Qn(x)467

Ⅳ.1.2.21 连带勒让德函数P？（x）和Q？(x)470

Ⅳ.1.2.22 球谐函数Ylm(θ,？)472

Ⅳ.1.2.23　埃尔米特（Hermite）多项式Hn(x)472

Ⅳ.1.2.24　拉盖尔（Laguerre）多项式Ln(x)473

Ⅳ.1.2.25　连带拉盖尔多项式Ln(m)(x)474

Ⅳ.1.2.26　雅可比（Jacobi）多项式Pn(α,β)(x)475

Ⅳ.1.2.27　切比雪夫（Chebyshev）多项式Tn（x）和Un(x)476

Ⅳ.1.2.28　盖根鲍尔（Gegenbauer）多项式？(x)477

Ⅳ.1.2.29　超几何函数F（a,b;c;x）或2F1(a,b;c;x)478

Ⅳ.1.2.30　双变量超几何函数F(α,β;γ;x,y)479

Ⅳ.1.2.31　合流超几何函数M（a;c;x）或1F1(a;c;x)480

Ⅳ.1.2.32　惠特克（Whittaker）函数Mλ,μ（z）和Wλ,μ(z)481

Ⅳ.1.2.33　马蒂厄（Mathieu）数ce2n(z,q),ce2n+1(z,q),se2n+1(z,q),se2n+2(z,q)481

Ⅳ.1.2.34　抛物柱面函数Dp(z)483

Ⅳ.1.2.35　迈耶（Meijer）函数G(x)484

Ⅳ.1.2.36 麦克罗伯特（MacRobert）函数E(p;αr:q;Qs:x)485

Ⅳ.1.2.37 黎曼（Riemann）Zeta函数ζ(z,q),ζ（z）和黎曼函数φ(z,s,v),ξ(s)485

Ⅳ.1.2.38 函数v(x),v(x,α),μ(x,β),μ(x,β,α),λ(x,y)486

Ⅳ.1.2.39　δ函数487

Ⅳ.1.2.40　陀螺波函数D？(α,β,γ)488

Ⅳ.2　常用导数表489

Ⅳ.3　常用级数展开493

Ⅳ.3.1　二项式函数493

Ⅳ.3.2　指数函数494

Ⅳ.3.3　对数函数494

Ⅳ.3.4　三角函数495

Ⅳ.3.5　反三角函数496

Ⅳ.3.6　双曲函数497

Ⅳ.3.7　反双曲函数498

Ⅳ.3.8　总和∑（）与嵌套和∧［］499

Ⅳ.4　自然科学基本常数501

Ⅳ.4.1　数学常数501

Ⅳ.4.1.1　常数π（圆周率）501

Ⅳ.4.1.3　欧拉（Euler）常数γ502

Ⅳ.4.1.4　黄金分割比例常数φ502

Ⅳ.4.1.2　常数e（自然对数之底）502

Ⅳ.4.1.5　卡塔兰（Catalan）常数G503

Ⅳ.4.1.6　伯努利（Bernoulli）多项式Bn（x）和伯努利数Bn503

Ⅳ.4.1.7　欧拉（Euler）多项式En（x）和欧拉数En504

Ⅳ.4.2　物理学常数504

Ⅳ.4.3　化学常数505

Ⅳ.4.4　天文学常数510

Ⅳ.4.5　地学常数511

Ⅳ.5　单位制和单位换算513

Ⅳ.5.1　国际单位制（SI）513

Ⅳ.5.1.1　国际单位制（SI）中十进制倍数和词头表示法513

Ⅳ.5.1.2　国际单位制（SI）的基本单位514

Ⅳ.5.1.3　国际单位制（SI）中具有专门名称的导出单位515

Ⅳ.5.2　美制重量和测量516

Ⅳ.5.2.1　直线测量516

Ⅳ.5.2.2　平面和土地测量516

Ⅳ.5.2.3　常衡制517

Ⅳ.5.2.4　干量517

Ⅳ.5.2.5　液量517

Ⅳ.5.3.3　体积518

Ⅳ.5.3.2　速度518

Ⅳ.5.3.1　长度518

Ⅳ.5.3　美国惯用单位与国际单位的换算518

Ⅳ.5.3.4　重量519

Ⅳ.5.4　中国市制单位与国际单位的换算519

Ⅳ.5.4.1　长度519

Ⅳ.5.4.2　面积519

Ⅳ.5.4.3　体积与容积520

Ⅳ.5.4.4　重量520

Ⅳ.5.5　工程技术常用单位的换算520

符号索引522

参考书目525