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第二篇 微积分1

第八章 无穷级数1

8.1 数项级数的收敛与发散1

8.1.1 基本概念1

8.1.2 收敛级数的性质5

习题8.17

8.2 正项级数8

8.2.1 有界性准则9

8.2.2 比较判别法10

8.2.3 比值判别法13

8.2.4 根值判别法15

8.2.5 积分判别法16

习题8.217

8.3 一般级数19

8.3.1 交错级数19

8.3.2 绝对收敛与条件收敛20

8.3.3 绝对收敛级数的性质21

习题8.324

8.4 函数项级数的基本概念26

8.4.1 函数项级数的概念26

8.4.2 函数项级数的一致收敛性27

8.4.3 一致收敛级数的性质30

习题8.431

8.5 幂级数及其收敛性32

8.5.1 幂级数的收敛半径与收敛区间33

8.5.2 收敛半径的求法35

8.5.3 幂级数的性质38

习题8.542

8.6 Taylor级数43

8.6.1 基本定理43

8.6.2 将函数展开为幂级数46

习题8.651

8.7 周期函数的Fourier级数52

8.7.1 正交三角函数系52

8.7.2 Fourier级数54

8.7.3 Dirichlet收敛定理55

8.7.4 正弦级数和余弦级数57

习题8.759

8.8 任意区间上的Fourier级数60

8.8.1 区间［—π，π］上的Fourier级数60

8.8.2 区间［—l,l］上的Fourier级数63

习题8.865

8.9 Fourier级数的复数形式66

习题8.969

总习题869

第九章 多元函数的微分学74

9.1 n维欧氏空间74

9.1.1 n维欧氏空间Rn74

9.1.2 邻域75

9.1.3 内点、外点、边界点、聚点76

9.1.4 开集76

9.1.5 闭集76

9.1.6 区域76

习题9.177

9.2 多元函数的极限与连续77

9.2.1 多元函数的概念77

9.2.2 二元函数的几何意义78

9.2.3 等高线和等位面78

9.2.4 极限与连续79

习题9.280

9.3 偏导数和全微分81

9.3.1 偏导数81

9.3.2 全微分83

9.3.3 可微性与连续性、偏导数存在性的关系84

习题9.387

9.4 复合函数微分法和高阶全微分88

9.4.1 复合函数求导法88

9.4.2 一阶全微分形式不变性90

9.4.3 高阶偏导数和高阶全微分91

习题9.493

9.5 方向导数与梯度94

9.5.1 方向导数94

9.5.2 梯度96

习题9.597

9.6 隐函数微分法98

9.6.1 函数隐藏于一个方程的情形98

9.6.2 函数隐藏于方程组的情形99

9.6.3 隐函数存在定理101

习题9.6105

9.7 多元函数的Taylor公式105

习题9.7107

9.8 多元函数的极值108

9.8.1 多元函数极值108

9.8.2 极值的必要条件108

9.8.3 极值的充分条件109

9.8.4 最大值和最小值111

习题9.8113

9.9 多元函数的条件极值113

9.9.1 条件极值113

9.9.2 Lagrange乘数法114

习题9.9117

9.10 向量值函数的导数117

9.10.1 向量值函数117

9.10.2 向量值函数的极限和连续性119

9.10.3 向量值函数的导数120

习题9.10121

9.11 偏导数的几何应用121

9.11.1 空间曲线的切线与法平面121

9.11.2 曲面的切平面与法线124

习题9.11126

总习题9126

第十章 重积分129

10.1 二重积分的概念129

10.1.1 曲顶柱体的体积129

10.1.2 平面薄片的质量130

10.1.3 二重积分的定义131

10.1.4 二重积分的性质132

习题10.1134

10.2 二重积分的计算法135

10.2.1 二重积分的直角坐标计算法136

10.2.2 二重积分的极坐标计算法140

10.2.3 二重积分的一般换元法142

习题10.2145

10.3 广义二重积分148

习题10.3149

10.4 三重积分的概念及计算149

10.4.1 三重积分的概念149

10.4.2 三重积分的直角坐标计算法151

10.4.3 三重积分的柱坐标计算法154

10.4.4 三重积分的球坐标计算法156

习题10.4158

10.5 重积分的应用160

10.5.1 体积160

10.5.2 物体的质心161

10.5.3 转动惯量163

10.5.4 引力165

习题10.5167

总习题10167

第十一章 含参变量积分170

11.1 含参变量的常义积分170

11.1.1 含参变量常义积分的定义170

习题11.1174

11.2 反常积分收敛性判别法174

11.2.1 无穷限积分收敛性判别法174

11.2.2 无界函数的反常积分收敛性判别法179

习题11.2183

11.3 含参变量的反常积分184

11.3.1 一致收敛性184

11.3.2 含参变量反常积分的性质189

习题11.3192

总习题11193

第十二章 第一型曲线积分和曲面积分195

12.1 第一型曲线积分195

习题12.1199

12.2 第一型曲面积分的计算200

12.2.1 曲面面积200

12.2.2 第一型曲面积分203

习题12.2207

总习题12208

第十三章 第二型曲线积分和曲面积分209

13.1 第二型曲线积分209

13.1.1 第二型曲线积分的概念和性质209

13.1.2 第二型曲线积分的计算211

13.1.3 两类曲线积分的联系214

习题13.1216

13.2 Green公式217

13.2.1 Green公式217

13.2.2 Green公式的应用219

习题13.2222

13.3 平面曲线积分与路径无关的条件、保守场223

13.3.1 平面曲线积分与路径无关的条件223

13.3.2 原函数与全微方程227

13.3.3 保守场与势函数230

习题13.3231

13.4 第二型曲面积分232

13.4.1 曲面的侧232

13.4.2 第二型曲面积分的概念233

13.4.3 第二型曲面积分的计算235

13.4.5 两类曲面积分的联系238

习题13.4240

13.5 Guass公式、通量和散度241

13.5.1 Guass公式241

13.5.2 通量和散度244

习题13.5248

13.6 Stokes公式、方向旋量和旋度249

13.6.1 Stokes公式249

13.6.2 方向旋量和旋度253

习题13.6255

13.7 Hamilton算子256

13.7.1 Hamilton算子的运算规则256

13.7.2 几个基本公式256

13.7.3 例子257

习题13.7259

13.8 向量的外积与外微分形式259

13.8.1 向量的外积259

13.8.2 外微分形式及外微分261

13.8.3 场论基本公式的统一形式263

习题13.8265

第三篇 常微分方程266

第十四章 常微分方程266

14.1 微分方程的基本概念266

习题14.1268

14.2 一阶微分方程269

14.2.1 变量可分离方程269

14.2.2 齐次微分方程271

14.2.3 一阶线性微分方程272

14.2.4 恰当方程274

14.2.5 一阶方程的初等变换法和积分因子法276

14.2.6 一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性281

14.2.7 一阶微分方程的幂级数解法举例281

习题14.2283

14.3 二阶微分方程285

14.3.1 可降阶的二阶微分方程285

14.3.2 二阶线性微分方程287

14.3.3 二阶常系数线性微分方程294

14.3.4 几种特殊的二阶变系数线性微分方程300

习题14.3303

14.4 n阶微分方程305

14.4.1 可降阶的n阶线性微分方程305

14.4.2 n阶线性微分方程309

14.4.3 n阶常系数线性方程311

14.4.4 n阶Euler方程312

习题14.4313

总习题14314

第十五章 线性微分方程组316

15.1 常系数线性微分方程组的初等解法316

15.2 常系数线性方程组的算子解法318

15.3 变系数线性方程组解法举例320

总习题15321

参考文献323

习题答案与提示324