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连续思想篇（一）——一元函数微积分学3

第1章 初等函数3

1.1函数的概念和性质3

1.1.1问题的提出3

1.1.2实数集3

1.1.3函数的概念4

1.1.4函数的性质7

1.2初等函数8

1.2.1基本初等函数8

1.2.2复合函数10

1.2.3初等函数的定义10

1.3建立函数关系——数学模型10

数学重要历史人物——笛卡儿13

习题114

第2章 极限与连续17

2.1极限的概念与无穷小量17

2.1.1数列的极限17

2.1.2函数的极限18

2.1.3极限的性质20

2.1.4无穷大与无穷小20

2.2极限的运算21

2.2.1极限的运算法则21

2.2.2复合函数的极限运算法则22

2.2.3夹逼准则23

2.2.4重要极限23

2.2.5无穷小的比较24

2.3函数的连续性26

2.3.1函数的连续性26

2.3.2函数的间断点27

2.3.3初等函数的连续性27

2.3.4闭区间上连续函数的性质28

数学重要历史人物——柯西30

习题232

第3章 变化率与导数35

3.1导数的概念35

3.1.1实际问题35

3.1.2导数36

3.1.3导数的几何意义38

3.1.4可导与连续的关系39

3.2导数的计算39

3.2.1函数的和、差、积、商的求导法则40

3.2.2复合函数的求导法则40

3.2.3基本导数公式和求导法则41

3.2.4高阶导数42

3.3微分中值定理44

3.4导数的应用47

3.4.1函数的单调性47

3.4.2函数的极值48

3.5函数变化率的数学模型49

3.6洛必达法则52

3.7微分与近似计算54

3.7.1微分的定义54

3.7.2基本微分公式与微分运算法则56

3.7.3微分在近似计算中的应用57

数学重要历史人物——费马58

习题360

第4章 积分63

4.1不定积分63

4.1.1原函数与不定积分的概念63

4.1.2基本积分表64

4.1.3不定积分的性质65

4.2不定积分计算66

4.2.1换元积分法66

4.2.2分部积分法68

4.3定积分的引出及概念69

4.3.1引例69

4.3.2定积分的定义70

4.3.3定积分的几何意义71

4.3.4定积分的性质72

4.4定积分计算72

4.4.1积分上限函数72

4.4.2微积分基本公式74

4.4.3定积分的换元积分法75

4.4.4定积分的分部积分法76

4.5定积分应用77

4.5.1微元法77

4.5.2平面图形的面积77

4.5.3体积79

4.5.4投资回收期的计算80

数学重要历史人物——莱布尼茨81

习题483

离散思想篇91

第5章 线性代数初步91

5.1线性方程组与矩阵91

5.2消元法与矩阵初等变换93

5.3行列式的概念与计算96

5.3.1二、三阶行列式96

5.3.2一般阶行列式的定义98

5.3.3行列式的性质100

5.3.4行列式的计算105

5.3.5克拉默法则107

5.4线性代数模型108

5.4.1食谱营养模型108

5.4.2差分方程109

数学重要历史人物——高斯111

习题5113

第6章 矩阵与线性方程组116

6.1矩阵的基本运算116

6.1.1矩阵加法与数量乘法116

6.1.2矩阵乘法117

6.1.3矩阵的转置119

6.2矩阵的逆120

6.2.1矩阵逆的概念120

6.2.2由伴随矩阵求矩阵的逆121

6.2.3由初等矩阵求矩阵的逆121

6.3矩阵的秩123

6.3.1行阶梯形矩阵123

6.3.2矩阵的秩的定义128

6.4 n维向量及其线性相关性128

6.4.1 n维向量及其线性运算128

6.4.2向量组线性相关性129

6.5向量组的秩及最大线性无关组132

6.5.1向量组的等价132

6.5.2向量组的秩133

6.5.3向量组的秩与矩阵的秩的关系134

6.6线性方程组的解135

6.6.1解线性方程组135

6.6.2存在与唯一性问题137

6.6.3齐次线性方程组138

6.6.4非齐次线性方程组142

6.7应用举例144

6.7.1列昂季耶夫投入产出模型144

6.7.2交通流量问题146

数学重要历史人物——伯努利148

习题6149

第7章 矩阵的特征值与特征向量153

7.1向量的内积与正交向量组153

7.1.1向量的内积153

7.1.2正交向量组与施密特正交化方法155

7.1.3正交矩阵156

7.2矩阵的特征值与特征向量157

7.2.1特征值与特征向量的概念和求法157

7.2.2特征值和特征向量的性质158

7.3相似矩阵与方阵的对角化159

7.3.1相似矩阵及其性质159

7.3.2矩阵与对角矩阵相似的条件160

7.4实对称矩阵的对角化161

7.4.1实对称矩阵的特征值与特征向量的性质161

7.4.2实对称矩阵的对角化162

7.5特征值与特征向量的应用163

数学重要历史人物——埃尔米特165

习题7166

第8章 二次型169

8.1二次型及其标准形169

8.1.1二次型及其矩阵表示169

8.1.2二次型的标准形171

8.2化二次型为标准形171

8.2.1正交变换法172

8.2.2配方法173

8.3正定二次型176

8.4正交变换化标准型的几何应用178

数学重要历史人物——阿基米德182

习题8184

参考文献186

附录 积分表187

习题答案191