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第1章 物理学中的非线性方程1

1．1 非线性常微分方程1

1．2 非线性偏微分方程7

1．3 非线性差分方程13

1．4 函数方程15

习题118

第2章 经典的非线性方程的求解20

2．1 等尺度方程和尺度不变方程20

2．2 经典的一阶非线性方程23

2．3 椭圆方程32

2．4 经典的二阶非线性方程53

2．5 Painleve方程57

2．6 Euler方程组67

2．7 差分方程69

2．8 函数方程76

习题280

第3章 非线性方程的定性分析84

3．1 Logistic方程84

3．2 Landau方程87

3．3 Lotka-Volterra方程89

3．4 无阻尼的单摆运动方程92

3．5 有阻尼的单摆运动方程99

3．6 Van der Pol方程102

3．7 Duffing方程105

习题3111

第4章 试探函数法113

4．1 指数试探函数113

4．2 抛物线试探函数120

4．3 三角试探函数121

4．4 定常-小振荡试探函数122

习题4125

第5章 摄动法127

5．1 正规摄动法127

5．2 多尺度方法129

5．3 PLK(Poincare-Lighthill-Kuo)方法135

5．4 平均值方法140

5．5 KBM(Krylov-Bogoliubov-Mitropolski)方法142

5．6 约化摄动法145

5．7 幂级数展开法153

习题5163

第6章 行波解167

6．1 广义的热传导方程167

6．2 Burgers方程168

6．3 KdV(Korteweg-de Vries)方程170

6．4 非线性Klein-Gordon方程178

6．5 Boussinesq方程188

6．6 mKdV方程190

6．7 BDO(Benjamin-Davis-Ono)方程192

6．8 离子声波方程193

6．9 Fisher方程195

6．10 KdV-Burgers方程201

6．11 KdV-Burgers-Kuramoto方程206

6．12 非线性Schrodinger(NLS)方程214

6．13 Zakharov方程217

6．14 Landau-Lifshitz方程219

6．15 Ginzburg-Landau方程223

6．16 KP(Kadomtsev-Petviashvil)方程224

6．17 准地转位涡度方程226

习题6230

7．1 活动奇点和Painleve性质240

第7章 相似变换和自相似解240

7．2 相似变换和自相似解243

7．3 Burgers方程247

7．4 KdV方程249

7．5 mKdV方程252

7．6 正弦-Gordon方程253

7．7 浅水方程组255

习题7259

第8章 特殊变换法261

8．1 特征线方法261

8．2 因变量或自变量变换272

8．3 Hopf-Cole变换281

8．4 推广的Hopf-Cole变换284

8．5 Hirota方法294

习题8298

第9章 散射反演法305

9．1 GGKM(Gardner-Greene-Kruskal-Miura)变换305

9．2 Schrodinger方程势能的孤立子解307

9．3 散射反演法311

9．4 KdV方程的单孤立子解326

9．5 KdV方程的双孤立子解328

9．6 Lax方程332

9．7 AKNS(Ablowitz-Kaup-Newell-Segur)方法334

习题9345

第10章 Backlund变换347

10．1 Backlund变换347

10．2 正弦-Gordon方程351

10．3 KdV方程358

10．4 Darboux变换364

10．5 Boussinesq方程367

习题10376

附录A 线性常微分方程381

附录B 自治系统386

附录C 椭圆积分和椭圆函数388

参考文献391