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第1章 数学建模概论1

1.1 数学模型和数学建模1

1.1.1 模型1

1.1.2 数学模型1

1.1.3 数学建模2

1.2 建立数学模型的过程与建模示例2

1.2.1 建立数学模型的过程2

1.2.2 建模示例：椅子摆放问题3

1.3 建立数学模型的一般步骤5

习题19

第2章 初等数学模型10

2.1 量纲分析法10

2.1.1 量纲齐次性原则10

2.1.2 量纲分析的一般方法10

2.1.3 建模示例：航船阻力问题11

2.1.4 建模示例：抛射问题13

2.2 比例与函数建模法15

2.2.1 动物体型问题15

2.2.2 双层玻璃窗的功效16

2.2.3 席位分配17

习题220

第3章 微分方程与差分方程模型21

3.1 微分方程理论简介21

3.1.1 微分方程基本概念21

3.1.2 微分方程求解22

3.2 经济增长模型24

3.2.1 道格拉斯（Douglas）生产函数24

3.2.2 资金与劳动力的最佳分配25

3.2.3 劳动生产率增长的条件25

3.3 人口的预测和控制27

3.3.1 指数增长模型28

3.3.2 阻滞增长模型——Logistic模型28

3.3.3 模型的参数估计、检验和预报30

3.3.4 考虑年龄结构和生育模式的人口模型32

3.4 军事上的应用36

3.4.1 军队作战模型36

3.4.2 模型求解38

3.5 差分方程理论简介41

3.5.1 差分方程的概念41

3.5.2 一阶常系数线性差分方程及其迭代解法42

3.5.3 差分方程在经济学中的应用44

习题345

第4章 随机模型46

4.1 概率论基本知识46

4.1.1 概率的概念和性质46

4.1.2 随机变量及其分布47

4.1.3 随机变量的数学特征47

4.1.4 常用分布48

4.2 数理统计基本知识49

4.2.1 三大抽样分布49

4.2.2 参数估计50

4.2.3 假设检验53

4.2.4 方差分析56

4.2.5 回归分析58

4.3 随机转移模型65

4.3.1 马氏链模型65

4.3.2 基因遗传与生物繁殖69

4.4 随机存储模型71

4.4.1 离散型随机变量的存储模型71

4.4.2 连续型随机变量的存储模型72

4.5 蒙特卡罗方法73

4.5.1 蒙特卡罗方法的来源和思想73

4.5.2 蒙特卡罗方法的应用75

4.5.3 蒙特卡罗形式与一般步骤76

4.5.4 随机数的生成77

习题482

第5章 规划模型83

5.1 线性规划83

5.1.1 一般线性规划问题的数学模型83

5.1.2 线性规划问题的基本性质86

5.1.3 单纯形法87

5.1.4 人工变量法91

5.1.5 对偶理论与灵敏度分析95

5.2 目标规划100

5.2.1 目标规划问题的提出101

5.2.2 目标规划的数学模型102

5.2.3 目标规划的图解法103

5.2.4 目标规划的单纯形法求解105

5.2.5 目标规划的灵敏度分析108

5.3 整数规划111

5.3.1 整数规划模型及其一般形式111

5.3.2 割平面法112

5.3.3 分枝定界法114

5.3.4 0-1型整数规划116

5.3.5 指派问题117

5.4 动态规划120

5.4.1 多阶段决策问题120

5.4.2 动态规划的基本概念及基本定理121

5.4.3 动态规划模型及求解方法122

5.4.4 动态规划的应用127

习题5131

第6章 图论模型134

6.1 图的基本概念与基本定理134

6.1.1 图的定义、顶点的次数及图的同构135

6.1.2 路径与连通的相关概念137

6.1.3 有向图的连通性138

6.1.4 图的矩阵表示139

6.2 树与生成树141

6.2.1 树的定义及其性质142

6.2.2 生成树的定义及构造方法144

6.2.3 最小生成树（MST）问题及其算法145

6.2.4 最小生成树问题的应用及推广147

6.3 最短路径问题148

6.3.1 解最短路径问题的基本方法148

6.3.2 赋权有向图中的最短路径153

6.3.3 最短路径问题的扩展154

6.3.4 最短路径的应用——选址问题及中国邮递员问题156

6.4 网络最大流、最小流问题158

6.4.1 基本概念及定理158

6.4.2 解最大流问题的方法：Ford和Fulkerson标记法160

6.4.3 最小费用流及相关解法161

习题6163

第7章 其他模型166

7.1 模糊数学166

7.1.1 模糊集与模糊子集166

7.1.2 模糊聚类分析169

7.1.3 模糊模型识别172

7.1.4 经典综合评判决策175

7.1.5 模糊协调决策法177

7.2 灰色系统理论179

7.2.1 灰色系统基本概念179

7.2.2 灰色系统预测179

7.2.3 灰色系统模型的检验181

7.2.4 灰色系统理论的建模思想182

7.2.5 灰色系统预测模型的建立183

7.2.6 应用举例184

7.3 层次分析法建模188

7.3.1 层次分析法的基本步骤188

7.3.2 步骤的实现过程189

7.4 数据拟合与插值193

7.4.1 简介193

7.4.2 数据拟合的最小二乘法193

7.4.3 多项式插值200

7.5 变分法建模205

7.5.1 变分法简介205

7.5.2 国民收入的增长209

7.5.3 产品价格的最佳调整211

7.6 合作收益分配213

7.6.1 合作对策213

7.6.2 三人经商模型214

7.6.3 建厂费用模型215

习题7219

第8章 Mathematica软件简介221

8.1 Mathematica入门221

8.1.1 Mathematica界面221

8.1.2 输入与执行222

8.1.3 Mathematica的语法要求222

8.1.4 查询与帮助223

8.1.5 文件的存取223

8.1.6 Mathematica的扩展223

8.1.7 数的表示和计算223

8.1.8 变量的表示与运算224

8.1.9 函数的表示与运算225

8.1.10 表的表示227

8.2 利用Mathematica绘制图形227

8.2.1 基本一元函数作图227

8.2.2 参数方程所确定的函数作图229

8.2.3 极坐标式函数作图230

8.2.4 隐函数作图230

8.2.5 绘制平面散点图231

8.2.6 平面图形的可选项231

8.2.7 空间图形的绘制234

8.3 利用Mathematica解方程236

8.3.1 n次方程的求解236

8.3.2 求解方程近似根237

8.3.3 方程组的求解238

8.4 利用Mathematica求解微积分238

8.4.1 求极限238

8.4.2 求导数和微分240

8.4.3 求不定积分与定积分241

8.4.4 求多重积分242

8.4.5 求解微分方程242

8.4.6 无穷级数的相关运算243

8.4.7 求函数的极大值与极小值244

8.4.8 数据拟合244

8.5 利用Mathematica进行线性代数运算245

8.5.1 矩阵的输入与输出246

8.5.2 矩阵的运算246

8.5.3 求解线性方程组248

8.5.4 向量组的单位正交化249

8.6 利用Mathematica进行概率与数理统计运算249

8.6.1 常用随机变量分布的计算249

8.6.2 数据的统计与分析251

8.6.3 区间估计252

8.6.4 假设检验253

第9章 LINDO软件简介255

9.1 LINDO软件的求解过程255

9.2 一个简单的LINDO程序256

9.3 灵敏度分析259

9.4 整数线性规划的求解264

9.5 二次规划求解268

附录272

附录1 部分习题参考答案272

附录2 标准正态分布表280

附录3 相关系数临界值表281

附录4 历年全国大学生数学建模竞赛题目283

参考文献286