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第1章 复数与复变函数1

1.1复数1

1.1.1复数的概念1

1.1.2复数的四则运算1

1.1.3复数的表示法2

习题1.18

1.2复数的乘幂与开方8

1.2.1复数的乘幂8

1.2.2复数的开方9

习题1.210

1.3平面点集10

1.3.1复平面上的点集与区域10

1.3.2单连通区域与多（复）连通区域11

习题1.312

1.4复变函数13

1.4.1复变函数的概念13

1.4.2复变函数的几何表示14

1.4.3反函数与复合函数15

习题1.415

1.5复变函数的极限与连续16

1.5.1复变函数的极限16

1.5.2复变函数的连续性19

习题1.520

复习题一21

第2章 解析函数24

2.1复变函数的导数与解析函数的概念24

2.1.1复变函数的导数与微分24

2.1.2解析函数的概念27

习题2.128

2.2复变函数可导与解析的充要条件28

习题2.233

2.3解析函数与调和函数的关系33

习题2.337

2.4初等函数及其解析性37

2.4.1指数函数38

2.4.2对数函数39

2.4.3幂函数40

2.4.4三角函数41

2.4.5反三角函数43

2.4.6双曲函数与反双曲函数44

习题2.445

复习题二45

第3章 复变函数的积分49

3.1复积分的概念及其基本计算方法49

3.1.1复积分的定义49

3.1.2复积分的基本性质50

3.1.3复积分的存在定理及其基本计算方法51

习题3.154

3.2柯西积分定理与不定积分54

3.2.1柯西积分定理54

3.2.2不定积分57

习题3.259

3.3复合闭路定理59

习题3.361

3.4柯西积分公式与高阶导数62

3.4.1柯西积分公式62

3.4.2解析函数的高阶导数64

3.4.3柯西不等式与刘维尔（Liouville）定理66

习题3.467

复习题三68

第4章 级数71

4.1复数序列与复数项级数71

4.1.1复数序列71

4.1.2复数项级数72

习题4.174

4.2复变函数项级数74

4.2.1复变函数项级数的概念74

4.2.2幂级数75

习题4.279

4.3解析函数的泰勒展开式79

习题4.383

4.4解析函数的洛朗级数84

4.4.1洛朗级数84

4.4.2解析函数的洛朗展开式85

习题4.490

复习题四90

第5章 留数及其应用94

5.1解析函数的孤立奇点94

5.1.1孤立奇点的定义94

5.1.2孤立奇点的分类95

5.1.3孤立奇点的定义及分类102

习题5.1104

5.2留数的定义及计算104

5.2.1留数的定义104

5.2.2留数的计算106

5.2.3留数定理及其应用109

5.2.4无穷远点的留数111

习题5.2115

5.3留数在实变量积分计算中的应用116

5.3.1∫2πR 0 （cosθ， sinθ） dθ 型积分116

5.3.2∫+∞ -∞ f（x）dx型积分117

5.3.3∫+∞ -∞ f（x）eiax dx（a＞0）型积分119

习题5.3122

5.4对数留数与辐角原理122

5.4.1对数留数122

5.4.2辐角原理123

5.4.3儒歇定理125

习题5.4126

复习题五126

第6章 保形映射128

6.1解析函数导数的几何意义与保形映射的概念128

6.1.1解析函数导数的几何意义128

6.1.2保形映射的概念130

习题6.1130

6.2分式线性映射及其应用131

6.2.1分式线性映射的概念131

6.2.2分式线性映射的分解132

6.2.3分式线性映射的性质133

6.2.4分式线性映射的应用137

习题6.2140

6.3常见初等函数确定的映射141

6.3.1幂函数和根式函数所确定的映射141

6.3.2指数函数与对数函数所确定的映射145

习题6.3146

复习题六147

第7章 傅里叶变换149

7.1傅里叶积分149

7.1.1周期函数的傅里叶级数149

7.1.2非周期函数的傅里叶积分公式150

习题7.1151

7.2傅里叶变换的定义及性质152

7.2.1傅里叶变换的定义152

7.2.2傅里叶变换的性质155

习题7.2167

7.3 δ函数及其傅里叶变换168

7.3.1 δ函数的定义168

7.3.2 δ函数的性质170

7.3.3 δ函数的傅里叶变换173

习题7.3175

复习题七175

第8章 拉普拉斯变换177

8.1拉普拉斯变换的概念177

8.1.1问题的提出177

8.1.2拉普拉斯变换的定义178

8.1.3拉普拉斯变换的存在定理179

8.1.4周期函数的拉普拉斯变换181

8.1.5单位脉冲函数δ（t）的拉普拉斯变换182

习题8.1183

8.2拉普拉斯逆变换184

习题8.2187

8.3拉普拉斯变换的性质188

习题8.3200

8.4拉普拉斯变换的应用202

8.4.1解线性微分方程和积分方程202

8.4.2解具有特殊扰动函数的微分方程209

习题8.4211

复习题八212

第9章 数学实验214

实验1复变函数的微积分214

实验2留数的基本运算与闭曲线上的积分225

实验3傅里叶变换和拉普拉斯变换228

参考答案234

附录1区域变换表253

附录2傅里叶变换简表257

附录3拉普拉斯变换简表261

主要参考文献265