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第1章 函数与极限1

1.1函数1

1.1.1函数的概念1

1.1.2函数的基本性质3

1.1.3反函数与复合函数5

1.1.4初等函数6

1.1.5其他类型的函数7

1.2数列极限11

1.2.1数列极限的定义11

1.2.2收敛数列的性质13

1.3函数极限15

1.3.1自变量趋于无穷大时函数的极限15

1.3.2自变量趋于有限值时函数的极限16

1.3.3函数极限的性质17

1.4无穷小量与无穷大量19

1.4.1无穷小量19

1.4.2无穷大量20

1.4.3极限运算法则21

1.5两个重要极限24

1.5.1极限存在的两个准则24

1.5.2两个重要极限26

1.6无穷小量的比较30

1.7函数的连续性32

1.7.1函数连续的概念32

1.7.2函数的间断点34

1.7.3连续函数的性质 初等函数的连续性36

1.7.4闭区间上连续函数的性质37

第1章总习题39

第2章 导数与微分42

2.1导数的概念42

2.1.1导数的定义42

2.1.2利用定义求导举例45

2.1.3函数可导性与连续性的关系47

2.2导数的求导法则49

2.2.1导数的四则运算法则49

2.2.2反函数的求导法则50

2.2.3复合函数的求导法则52

2.2.4隐函数的求导法则54

2.2.5由参数方程确定的函数的导数55

2.3高阶导数57

2.4函数的微分62

2.4.1微分的概念62

2.4.2微分基本公式与运算法则64

2.4.3微分在近似计算中的应用65

第2章总习题68

第3章 微分中值定理与导数的应用70

3.1微分中值定理70

3.1.1罗尔定理70

3.1.2拉格朗日中值定理71

3.1.3柯西中值定理73

3.1.4泰勒公式74

3.2洛必达法则77

3.2.10／0与∞／∞型未定式77

3.2.2其他类型未定式80

3.3函数的单调性与曲线的凹凸性81

3.3.1函数的单调性81

3.3.2曲线的凹凸性83

3.4函数的极值与最大值、最小值86

3.4.1函数的极值86

3.4.2函数的最大值与最小值89

3.5函数图形的描绘92

3.5.1曲线的渐近线92

3.5.2函数图形的描绘94

3.6导数在经济学中的应用96

3.6.1边际分析96

3.6.2弹性分析97

第3章总习题100

第4章 不定积分103

4.1不定积分的概念与性质103

4.1.1原函数的概念103

4.1.2不定积分的概念104

4.1.3不定积分的性质105

4.1.4基本积分公式106

4.2换元积分法108

4.2.1第一类换元法109

4.2.2第二类换元法114

4.3分部积分法119

4.4有理函数的积分123

4.4.1有理函数的积分123

4.4.2可化为有理函数的积分126

4.5积分表的使用129

第4章总习题131

第5章 定积分及其应用133

5.1定积分的概念与性质133

5.1.1引例133

5.1.2定积分的定义134

5.1.3定积分的性质137

5.2微积分基本公式140

5.2.1可变上限定积分及其导数140

5.2.2牛顿-莱布尼茨公式142

5.3定积分的换元积分法和分部积分法145

5.3.1定积分的换元积分法146

5.3.2定积分的分部积分法149

5.4广义积分与Γ函数152

5.4.1积分区间为无限的广义积分152

5.4.2被积函数为无界的广义积分153

5.4.3 Γ函数155

5.5定积分的应用156

5.5.1定积分的元素法157

5.5.2平面图形的面积157

5.5.3体积160

5.5.4经济学、生物学等方面的应用实例162

5.6定积分的近似计算164

5.6.1矩形法165

5.6.2梯形法165

第5章总习题167

第6章 多元函数微积分169

6.1空间解析几何简介169

6.1.1空间直角坐标系169

6.1.2空间曲面171

6.2多元函数的极限与连续174

6.2.1区域174

6.2.2多元函数概念175

6.2.3二元函数的极限175

6.2.4二元函数的连续性176

6.3偏导数178

6.3.1偏导数的概念178

6.3.2高阶偏导数180

6.4全微分182

6.4.1全微分的定义182

6.4.2全微分在近似计算中的应用183

6.5多元复合函数与隐函数的求导法则184

6.5.1多元复合函数的求导法则184

6.5.2多元隐函数的求导法则186

6.6多元函数的极值及其应用188

6.6.1多元函数的极值188

6.6.2条件极值189

6.6.3多元函数的最大值与最小值191

6.7二重积分193

6.7.1二重积分的概念与性质193

6.7.2二重积分的计算196

第6章总习题205

第7章 微分方程与差分方程207

7.1微分方程的基本概念207

7.2可分离变量的微分方程211

7.2.1可分离变量的微分方程211

7.2.2齐次微分方程214

7.3一阶线性微分方程216

7.4可降阶的高阶微分方程220

7.4.1y（n）＝f（x）型的微分方程220

7.4.2y″＝f（x，y′）型的微分方程221

7.4.3y″＝f（y，y′）型的微分方程222

7.5高阶线性微分方程223

7.5.1二阶线性微分方程解的结构223

7.5.2二阶常系数齐次线性微分方程225

7.5.3二阶常系数非齐次线性方程228

7.6差分方程的基本概念231

7.6.1差分的概念与性质231

7.6.2差分方程的概念233

7.7常系数线性差分方程234

7.7.1一阶常系数线性差分方程234

7.7.2二阶常系数线性差分方程237

第7章总习题239

第8章 无穷级数241

8.1常数项级数241

8.1.1级数敛散性概念241

8.1.2收敛级数的基本性质243

8.2常数项级数敛散性判别方法245

8.2.1正项级数敛散性判别方法245

8.2.2交错项级数敛散性判别方法249

8.2.3任意项级数的绝对收敛与条件收敛250

8.3幂级数252

8.3.1函数项级数的概念252

8.3.2幂级数及其收敛域253

8.3.3幂级数的运算256

8.4函数的幂级数展开258

8.4.1泰勒级数258

8.4.2 函数展开成幂级数259

第8章总习题262

附录一 常用三角函数公式264

附录二 希腊字母表265

附录三 积分表266

习题答案与提示275