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绪论1

第1篇 数理逻辑7

第1章 命题逻辑7

1.1命题的基本概念8

1.1.1命题8

1.1.2命题的分类9

1.1.3命题标识符9

1.2联结词10

1.2.1否定联结词10

1.2.2合取联结词11

1.2.3析取联结词12

1.2.4蕴涵联结词13

1.2.5等价联结词14

1.3命题公式16

1.3.1命题公式的定义16

1.3.2命题公式的层次17

1.3.3命题公式的赋值与真值表17

1.3.4命题的符号化20

1.4命题公式之间的关系22

1.4.1命题公式之间的逻辑等价22

1.4.2等价置换24

1.4.3命题公式之间的逻辑蕴涵29

1.5对偶与范式31

1.5.1对偶31

1.5.2范式33

1.5.3主范式35

1.6命题逻辑推理理论41

1.6.1有效推理的概念41

1.6.2命题演算推证43

1.7常见题型解析48

本章小结51

扩展阅读51

习题60

第2章 谓词逻辑65

2.1谓词的基本概念66

2.1.1谓词和个体66

2.1.2量词68

2.2谓词公式与解释71

2.2.1谓词公式的定义71

2.2.2自由与约束72

2.2.3谓词公式的解释74

2.2.4谓词公式的类型75

2.3谓词公式之间的关系76

2.3.1谓词公式之间的逻辑等价76

2.3.2谓词公式之间的逻辑蕴涵78

2.4前束范式80

2.4.1前束范式的定义80

2.4.2前束合取范式和前束析取范式82

2.5谓词逻辑推理理论83

2.5.1谓词演算推证83

2.5.2谓词演算推证举例85

2.6常见题型解析88

本章小结93

扩展阅读93

习题97

本篇知识逻辑结构图103

第2篇 集 合论107

第3章 集合107

3.1集合的概念与关系107

3.1.1集合的基本概念107

3.1.2集合表示法108

3.1.3集合之间的关系109

3.1.4幂集和集族111

3.1.5文氏图113

3.2集合的运算与性质114

3.2.1集合的运算114

3.2.2集合的运算性质115

3.2.3有序对与笛卡儿积120

3.3有限集合的计数124

3.4常见题型分析129

本章小结131

扩展阅读132

习题133

第4章 二元关系137

4.1关系的概念137

4.1.1关系的定义138

4.1.2特殊的关系138

4.1.3关系的表示139

4.2关系的性质142

4.3关系的运算146

4.3.1定义域与值域147

4.3.2限制与像148

4.3.3逆运算149

4.3.4复合运算151

4.3.5关系的性质与运算的联系156

4.3.6关系的闭包运算159

4.4等价关系与划分167

4.5相容关系与覆盖173

4.6偏序关系177

4.7常见题型分析182

本章小结185

扩展阅读186

习题188

第5章 函数192

5.1函数的定义192

5.2函数的性质与分类196

5.3常用函数200

5.4函数的运算202

5.4.1复合运算202

5.4.2逆运算206

5.5常见题型解析209

本章小结211

扩展阅读212

习题213

第6章 集合的基数216

6.1基本概念216

6.2基数的比较220

6.3常见题型解析224

本章小结225

扩展阅读226

习题226

本篇知识逻辑结构图228

第3篇 代数结构231

第7章 代数系统231

7.1二元运算及其性质232

7.1.1二元运算的定义232

7.1.2二元运算的性质232

7.2代数系统234

7.2.1定义和实例234

7.2.2子代数系统与积代数系统236

7.2.3代数系统的同态与同构236

7.3常见题型解析238

本章小结240

扩展阅读240

习题243

第8章 群论初步245

8.1群的定义及其性质246

8.1.1半群和独异点246

8.1.2群及其性质247

8.2子群与陪集249

8.2.1子群的定义与判定249

8.2.2陪集与拉格朗日定理251

8.3特殊的群——阿贝尔群、循环群和置换群255

8.3.1阿贝尔群255

8.3.2循环群256

8.3.3置换群258

8.4群的扩展——环与域261

8.5常见题型解析263

本章小结265

扩展阅读266

习题270

第9章 格与布尔代数272

9.1格的一般性讨论272

9.1.1格的定义272

9.1.2格的性质276

9.1.3格的同态与同构279

9.2特殊的格283

9.3布尔代数287

9.3.1布尔代数的定义287

9.3.2亨廷顿公理289

9.3.3布尔代数的子代数292

9.3.4有限布尔代数292

9.3.5布尔代数的同态与同构295

9.4常见题型解析297

本章小结302

扩展阅读303

习题306

本篇知识逻辑结构图308

第4篇 图论311

第10章 图的基本概念311

10.1图的定义312

10.2图的同构317

10.3图与子图及其分类318

10.4图的运算321

10.5常见题型解析322

本章小结324

扩展阅读325

习题328

第11章 图的连通性330

11.1通路与回路330

11.2无向图的连通性332

11.3有向图的连通性336

11.4常见题型解析339

本章小结342

扩展阅读343

习题345

第12章 图的矩阵表示348

12.1邻接矩阵348

12.2可达矩阵352

12.3完全关联矩阵354

12.4常见题型解析357

本章小结360

扩展阅读360

习题362

第13章 特殊图366

13.1欧拉图367

13.1.1欧拉图的定义367

13.1.2欧拉图的判定367

13.2哈密顿图370

13.2.1哈密顿图的定义370

13.2.2哈密顿图的判定370

13.3二分图373

13.3.1二分图及判别定理373

13.3.2完备匹配374

13.4平面图376

13.4.1平面图的概念376

13.4.2欧拉公式377

13.4.3平面图的判定378

13.4.4平面图的对偶图380

13.5树381

13.5.1树的定义及其相关术语381

13.5.2树的性质381

13.6生成树383

13.6.1生成树的定义383

13.6.2最小生成树385

13.7根树387

13.7.1根树的定义387

13.7.2二叉树388

13.8常见题型解析396

本章小结403

扩展阅读404

习题407

本篇知识逻辑结构图411

名词与术语索引表412

参考文献420