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第一章　集合·实数·函数1

1.1　集合及其运算1

一、集合与元素1

二、集合的包含关系2

三、集合的运算2

四、有限集与无限集3

五、无限个集合的运算3

1.2　实数集·确界原理·绝对值不等式4

一、实数集4

二、上界与下界5

三、确界原理·数集的直径6

四、绝对值不等式7

1.3　映射与函数8

一、映射8

二、映射的相等8

三、单射·满射·双射9

四、复合映射9

五、逆映射9

六、映射的限制与延拓10

七、分段映射10

八、初等函数10

1.4　函数的某些几何特性11

一、有界性11

二、奇偶性12

三、周期性12

四、单调性12

五、最大最小值与极值12

第二章　数列极限与集列极限2.1　数列极限16

一、近似值数列16

二、数列极限的定义16

三、无穷小数列18

2.2　收敛数列的性质19

2.3　单调数列的极限·数列的广义极限24

一、单调有界收敛定理24

二、数e25

三、举例26

四、单调无界数列与广义极限27

五、无穷大量与无穷小量28

六、不定式28

2.4　集列极限·收敛原理·上、下极限30

一、集列极限的概念30

二、集列极限与数列极限30

三、收敛原理32

四、上、下极限35

第三章　函数极限和集值函数极限3.1　函数极限38

一、引言38

二、自变量趋于有限数时的函数极限39

三、单侧极限40

四、自变量趋于无限时的函数极限41

3.2　函数极限的性质43

一、函数极限的性质43

二、两个重要的极限46

3.3　单调函数的极限·广义极限·阶的比较49

一、单调有界函数的极限49

二、单调无界函数与广义极限49

三、无穷小量、无穷大量与有界量50

四、等价量50

五、阶的比较52

3.4　集值函数的极限·收敛原理·函数的上、下极限53

一、集值函数极限的概念53

二、集值函数极限、函数极限与数列极限三者的关系54

三、收敛原理56

四、函数的上、下极限58

第四章　连续函数61

4.1　连续函数61

一、函数在x0点连续的定义61

二、左、右连续性61

三、不连续点62

四、区间上的连续函数63

4.2　连续函数的局部性质与运算性质64

一、连续函数的局部性质64

二、连续函数的四则运算65

三、复合函数的连续性65

四、反函数的连续性65

五、初等函数的连续性66

4.3　区间上连续函数的全局性质68

一、连续函数的介值定理68

二、闭区间上的连续函数的性质70

三、一致连续性71

第五章　实数基本定理与单调下降集列的收敛性·连续归纳法5.1　实数的基本定理与单调下降集列的收敛性77

一、实数基本定理77

二、单调下降集列的收敛性与实数基本定理78

三、实数基本定理等价性的证明方法78

5.2　连续归纳法80

一、用确界原理证明连续归纳法81

二、用连续归纳法证明确界原理81

5.3　实数完备性的基本定理与连续归纳法81

一、单调有界定理81

二、区间套定理82

三、聚点定理83

四、有限覆盖定理84

五、Cauchy收敛准则84

六、Dedekind公理85

七、有关实数完备性基本定理的等价性86

5.4　闭区间上连续函数性质的连续归纳法证明87

一、有界性定理88

二、最大最小值定理88

三、介值定理88

四、一致连续性定理89

第六章　导数与微分90

6.1　导数90

一、引言90

二、导数的定义90

三、导数的几何意义91

四、单侧导数92

五、可导与连续92

六、导函数92

6.2　求导法则96

一、函数的四则运算的求导96

二、复合函数的求导法97

三、反函数的求导法99

四、基本求导公式100

五、参数方程求导法100

六、隐函数的求导法101

6.3　微分103

一、引言103

二、微分的定义103

三、可微与可导的关系103

四、函数f在区间的可微性104

五、微分的几何意义104

六、微分的法则104

七、一阶微分形式不变性104

6.4　高阶导数与高阶微分106

一、高阶导数的定义106

二、基本公式106

三、Leibniz公式107

四、高阶微分107

五、高阶微分不具有形式不变107

第七章　微分学基本定理及其应用7.1　微分中值定理110

一、Fermat定理110

二、Rolle定理111

三、Lagrange中值定理111

四、Cauchy中值定理112

五、Darboux定理113

7.2　Taylor公式115

一、Taylor公式115

二、基本公式117

三、Lagrange余项117

四、应用（7.2的例）118

7.3　L'Hospital法则120

一、0/0型的L'Hospital法则120

二、∞／∞型的L'Hospital法则121

三、其他类型未定式的极限123

四、注释124

第八章 导数的应用126

8.1　函数的单调性、极值126

一、函数的单调性126

二、极值127

三、最大值与最小值的求法129

8.2　函数的凸性132

一、引言132

二、凸函数133

三、凸函数的判别法134

四、凸函数的一些等价描述135

五、拐点136

8.3　函数作图138

一、渐近线138

二、函数作图139

第九章　不定积分142

9.1　原函数与不定积分142

一、引言142

二、原函数与不定积分142

三、基本积分公式143

四、不定积分的线性运算144

9.2　换元积分法与分部积分法146

一、第一换元法146

二、第二换元法148

三、分部积分法150

9.3　若干可积函数类153

一、有理函数的积分153

二、三角函数有理式的积分155

三、∫R(x,n？ax+b/cx+d)dx型积分156

四、∫R(x,？ax2+bx+c)dx型积分157

第十章　定积分·广义积分159

10.1　定积分概念与Newton-Leibniz公式159

一、引言159

二、［a,b］的分割160

三、定积分的定义160

四、牛顿-莱布伯尼兹公式161

10.2　可积条件163

一、可积的必要条件163

二、可积的充要条件164

三、可积函数类166

10.3　定积分的性质168

10.4　微积分基本定理·定积分换元与分部积分法175

一、微积分基本定理175

二、定积分的换元和分部积分法176

三、带积分型余项的Taylor公式177

四、定积分的第二中值定理178

10.5　广义积分181

一、引言181

二、广义积分的定义182

三、广义积分的计算182

四、收敛原理与广义积分的性质183

五、条件收敛与绝对收敛184

六、绝对收敛的判别法184

七、条件收敛的判别法186

第十一章　定积分的应用189

11.1　平面图形的面积189

一、直角坐标系中的面积189

二、参数方程形式的曲线所围成的面积190

三、极坐标系中的面积190

11.2　曲线的弧长与曲率191

一、曲线弧长的概念191

二、曲线弧长的计算192

三、曲率193

11.3　体积与旋转曲面的侧面积195

一、体积195

二、旋转体的体积196

三、旋转体的侧面积197

11.4　物理应用举例199

一、微元法199

二、平面曲线的静力矩和重心199

三、平面图形的静力矩与重心200

11.5　定积分的近似计算201

一、预备知识201

二、Simpson公式203