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第一章 线性代数复习1

一、矩阵的本征值和本征矢量1

1.证明矩阵的本征值之和等于矩阵迹，本征值之积等于矩阵行列式2

2.计算泡利矩阵σ1和σ2的本征值和本征矢量2

3.计算方块矩阵的本征值和本征矢量3

4.计算行(列)循环排列矩阵的本征值和本征矢量3

5.若det R≠0，证明R+RR和RR+都是正定的厄米矩阵3

6.证明：若R+R＝1，则RR+＝1；若R-1R＝1，则RR-1＝1；若RTR＝1，则RRT＝14

7.试讨论2×2幺正矩阵，实正交矩阵和厄米矩阵各含有多少个独立实参数，并写出它们的一般表达式4

二、相似变换和矩阵的对角化5

8.找相似变换把若干矩阵对角化7

9.找联系两矩阵的相似变换矩阵8

10.找联系三对矩阵的共同相似变换矩阵9

11.找相似变换矩阵把两矩阵的自直乘化简10

12.找使三矩阵同时对角化的公共相似变换矩阵12

13.写出既幺正又厄米的m×m矩阵的一般形式14

14.证明R和R+乘积可以对易是矩阵R可通过幺正相似变换对角化的充要条件14

15.证明任何矩阵都可通过相似变换化为约当标准型的直和15

第二章 群的基本概念24

一、群的定义和群的同构和同态24

1.试由群的定义证明：(1)RR-1＝E；(2)RE＝R；(3)若TR＝R，则T＝E；(4)若TR＝E，则T＝R-1；(5)RS的逆元为S-1R-124

2.证明以乘法作为“乘积”的所有正实数构成的群和以“加法”作为乘积的所有实数构成的群同构25

二、群的各种子集25

3.证明两子群的公共元素的集合也构成子群26

7.试证明由σ1和σ2的所有可能幂次及其乘积的集合构成群，并证明此群和正方形对称群同构27

6.试证明，除恒元外，每个元素的阶都是2的群一定是阿贝尔群27

4.证明阶数为素数的群只能是循环群27

5.试证明六阶群只有两种27

8.证明由i σ1和iσ2的所有可能幂次及其乘积的集合构成群，并证明此群和正方形对称群不同构28

9.试证明八阶群只有五种29

10.试研究所有不同构的九阶群30

11.试研究所有不同构的十阶群31

12.举例说明群G的不变子群的不变子群不一定是群G的不变子群.反之，证明若群G的不变子群完整地属于子群H，则它也是子群H的不变子群31

13.对两互相共轭的元素，计算群中使它们满足共轭关系St＝PSjP-1的元素P的个数31

14.试证明群G两个类作为复元素的乘积，必由若干个整类构成32

15.试通过将T群的子群C3的乘法表扩充的方法计算T群的乘法表32

16.试根据群G的乘法表分析此群的性质34

一、群的线性表示和标量函数变换算符36

1.设G是一个非阿贝尔群，D(G)是群G的一个不可约真实表示，元素R的表示矩阵为D(R).现让群G元素R分别与下列矩阵对应，问此矩阵的集合是否分别构成群G的表示？(1)D(R)+；(2)D(R)T；(3)D(R-1)；(4)D(R)；(5)D(R-1)+；(6)det D(R)；(7)trD(R)36

第三章 群的线性表示理论36

2.试计算标量函数变换算符在给定函数基中的矩阵形式37

二、有限群的不等价不可约表示39

3.证明有限群任何一维表示的表示矩阵模为141

4.证明阿贝尔群的不可约表示都是一维的41

5.证明有限群两个等价的不可约幺正表示之间的相似变换矩阵，如果限制其行列式为1，必为幺正矩阵41

6.证明除恒等表示外，有限群任一不可约表示的特征标对群元素求和为零42

7.试计算有限群群代数中通过左乘和右乘群元素得到的两个正则表示间的相似变换矩阵42

8.试计算有限群的类中元素之和在不可约表示中的表示矩阵43

9.证明有限群包含的自逆类个数等于自共轭的不等价不可约表示个数44

10.证明两群的直乘的不等价不可约表示都可表为两群不等价不可约表示的直乘44

11.试计算D3群生成元在给定函数基中的表示矩阵，并组合函数基使之分属D3群各不等价不可约表示46

12.试通过O群的不变子群D2之商群计算O群二维不可约表示的特征标和生成元的表示矩阵49

13.试由给定有限群的乘法表计算群的不可约表示特征标表51

14.试计算第二章第16题给出群的不可约表示特征标表52

15.试用投影算符的方法，在T群的群空间计算分属各不可约表示的不可约基53

16.试用投影算符的方法，在O群的群空间计算分属各不可约表示的不可约基57

三、分导表示和诱导表示67

17.用诱导表示的方法计算D2n+1群的所有不等价不可约表示69

18.用诱导表示的方法计算D2n群的所有不等价不可约表示70

19.试计算立方体固有对称群O所有不等价不可约表示70

20.用诱导表示的方法计算正二十面体固有对称群I不可约表示的特征标表73

21.分别计算I群各不可约表示关于子群C5、D5和T的分导表示，按子群不可约表示约化所得的表示种类和个数75

22.计算Ih群正则表示关于子群C5i、D5d和Th的分导表示，按子群不可约表示约化所得的表示种类和个数77

23.正二十面体对称群I的元素都可表为子群C5和子群T元素的乘积T？R？S？S？，试由生成元T0和S1在各不可约表示的表示矩阵计算R6和S12的表示矩阵78

四、克莱布施-戈登系数80

24.设两组函数基ψμ和φν在群G变换中都按给定二维不可约表示变换，已知群G生成元在该二维不可约表示中的表示矩阵，试把乘积函数ψμφν组合成按群G各不可约表示变换的函数基81

25.计算T群三维不可约表示自直乘约化的相似变换矩阵83

26.试计算O群各不可约表示的直乘表示约化的克莱布施-戈登级数和克莱布施-戈登系数88

27.试计算I群各不可约表示的直乘表示约化的克莱布施-戈登级数和克莱布施-戈登系数95

第四章 三维转动群105

一、三维转动群的一般性质105

1.用数学归纳法证明辅助公式，并由此证明SO(3)群同态于SU(2)群106

2.把SO(3)群元素的指数形式展开成有限项矩阵之和108

二、三维转动群的不等价不可约表示109

3.由转动变换的矩阵形式计算它的欧拉角，并写出它在SO(3)群表示Dj中的表示矩阵元素112

4.由转动变换的转轴和转角计算它的欧拉角，并写出它在SO(3)表示Dj中的表示矩阵元素113

5.正二十面体对称群的任意元素可表为四个元素幂次的乘积，试计算此四元素的欧拉角114

6.计算正二十体对称群若干元素的欧拉角115

7.利用SO(3)群和SU(2)群的同态关系，验算O群元素的乘积公式115

8.试用SU(2)群绕z轴和绕y轴转动元素的表示矩阵表出绕任意轴转动元素的表示矩阵116

9.计算SO(3)群绕y轴转动元素表示矩阵dj(ω)的具体矩阵元素116

10.把SO(3)群的不可约表示D3关于子群D3的分导表示，按子群不可约表示约化，找出约化的相似变换矩阵118

11.分别对SO(3)群的不可约表示D20和D18关于正二十面体固有点群I的分导表示，计算按子群I不可约表示约化的克莱布施-戈登级数120

12.计算正二十面体固有点I群生成元在各不可约表示中的表示矩阵，并由此计算I群各次转动方向的极角122

13.试研究SU(2)群的类127

三、李氏定理和李群的伴随表示127

14.试由李氏第二定理计算SU(2)群不可约表示生成元的矩阵形式128

15.对任何一阶李群，试选择新参数，使新的组合函数为相加关系130

四、不可约张量算符和维格纳-埃伽定理131

16.试由球函数线性组合出沿给定方向轨道角动量的本征函数133

17.设函数ψ？(x)是属于SO(3)群不可约表示Dlm行的函数，试由ψ？(x)线性组合出轨道角动量沿e2方向的本征函数134

18.试由旋量基计算自旋沿径向分量S·？的本征函数135

19.试分别计算J2，J3，L2，S2和J2，J3，S2，S·？的共同本征函数135

20.试计算｛dl(θ)(I？)2dl(θ)-1｝mm，其中dl(θ)是转动群的表示矩阵，I3l是该表示的第三个生成元136

21.试用升降算符L±作用的办法直接计算SO(3)群若干直乘表示分解的克莱布施-戈登系数137

22.试用克莱布施-戈登系数计算三个电子系统总自旋角动量本征函数141

23.计算SO(3)群表示矩阵元素D？(α，β，γ)满足的微分方程143

五、SO(3)群和SO(2，1)群所有不可约幺正表示145

24.试讨论SO(3)群和SO(2，1)群的所有不等价不可约幺正表示146

第五章 晶体的对称性150

一、点群及其循环子群的生成元150

1.在直角坐标系中，写出沿z轴方向的6次固有和非固有转动轴生成元的并矢形式和矩阵形式151

2.用直角坐标系的单位矢量表出Td群和Oh群的各固有和非固有转动轴的方向和各固有转动轴生成元的并矢形式152

3.试用恒等变换的并矢和转轴方向的单位矢量表出绕任意给定方向转动给定角度变换的并矢形式152

二、空间群和对称元153

4.试找出晶体对称操作的对称直线位置和沿轴向的滑移矢量155

5.试找出晶体对称操作的对称平面位置和沿平面的滑移矢量156

6.试分析若干空间群的对称性质157

三、确定空间群的方法160

7.试由点群D2d出发，计算全部12种空间群162

8.试由点群D2出发，计算全部9种空间群163

第六章 置换群166

一、置换变换的乘积公式166

1.试把给定置换化为无公共客体的轮换乘积167

2.试把给定对换表为相邻客体对换的乘积167

3.证明长度为l的轮换阶数为l168

4.研究置换群的生成元168

5.试用置换变换表出“严格的”洗牌过程168

二、杨图，杨表和杨算符169

6.写出置换群S5，S6和S7的全部杨图170

7.计算置换群S4，S5，S6和S7各类所包含的元素数目170

8.计算置换群S5，S6，S7，S8和S9各杨图的正则杨表数170

三、杨算符的对称性质和正交性172

9.写出若干杨表的杨算符172

10.自小到大写出S5群对应杨图［3，2］的所有五个正则杨表，并计算这些正则杨表间的置换变换173

11.计算联系两杨表的置换，并验算对应的两杨算符间的关系173

12.设R联系两乘积不为零的杨表，计算R并把R表成属杨表的横向置换和纵向置换的乘积174

13.试把对应杨图［2，1］的非正则杨算符表成正则杨算符的组合174

四、置换群的原始幂等元175

14.具体写出S4群恒元按杨算符的展开式176

15.计算对应杨图［2，2，1］的正交原始幂等元177

16.计算对应杨图［4，2］的正交原始幂等元178

17.计算对应杨图［3，2，1］的正交原始幂等元179

18.计算对应杨图［3，3］和［4，1，1］的正交原始幂等元180

19.举例说明最小左理想对应的原始幂等元不是惟一的181

五、对应杨图［λ］的置换群不可约表示181

20.分别在标准基和正交基下计算S3群不可约表示［2，1］自乘分解的克莱布施-戈登系数183

21.计算不可约表示［3，1］标准基，并用列表法计算相邻客体对换在此表示中的表示矩阵186

22.计算S4群相邻客体对换在不可约表示［3，1］中的实正交表示矩阵形式和正交基表达式188

23.计算在S4群群空间不可约表示［2，1，1］的标准基和正交基，以及相邻客体对换的表示矩阵192

24.计算在S4群群空间不可约表示［2，2］的标准基和正交基，以及相邻客体对换的表示矩阵196

25.试计算甲烷分子伸展振动波函数的对称基198

26.用列表法计算S5群生成元在不可约表示［2，2，1］中的表示矩阵199

六、计算置换群不可约表示特征标的图解方法201

27.分别计算S6群相邻客体对换在对应两关连杨图表示中的实正交表示矩阵形式202

28.用图解方法计算置换群S5表示［2，2，1］的特征标203

29.用图解方法计算S6群各类在若干不可约表示中的特征标204

30.用图解方法计算SN群的特征标表，其中3≤N≤7204

七、置换群不可约表示的内积206

31.利用表示的特征标计算SN群各不可约表示直乘分解的克莱布施-戈登级数，其中3≤N≤7207

32.计算S5群不可约表示［3，2］自直乘分解的克莱布施-戈登系数210

八、置换群不可约表示的外积222

33.用立特武德-理查森规则计算若干置换群表示外积的约化224

34.用立特武德-理查森规则计算S6群若干不可约表示关于子群S3？S3的分导表示按子群不可约表示的约化225

35.试由S3群的二维不可约表示［2，1］诱导出S4群的表示，具体计算S4群生成元在该诱导表示中的表示矩阵226

第七章 SU(N)群228

一、SU(N)群的不等价不可约表示228

1.计算SU(3)群和SU(6)群若干用杨图标记的不可约表示的维数232

2.对SU(3)群和SU(6)群，分别计算若干表示直乘分解的克莱布施-戈登级数，并用维数公式检验233

3.试用正则张量杨表方法，具体写出SU(3)群三阶张量子空间yJ的完备基，其中杨算符y对应杨图［2，1］234

4.对于SU(3)群的不可约表示［3，1］，试把所有非零张量杨表表为正则张量杨表的线性组合235

5.设y是对应杨图［3，1］的正则杨算符，试具体写出SU(3)群四阶张量子空间yJ中所有正则张量杨表的具体展开式237

6.把SU(6)群的若干无迹混合张量表示变换成协变张量表示，并计算这些表示的维数238

7.证明公式？(TA)ac(TA)bd＝？-？239

二、SU(N)群生成元的谢瓦莱基和表示的盖尔范德基240

8.画出SU(3)群的不可约表示［3］的方块权图，并计算降算符不为零的矩阵元对方块权图中的每一个权，请计算相应的正则张量杨表，并标出归一化系数243

9.画出SU(3)群的不可约表示［2，1］的方块权图，并计算降算符不为零的矩阵元，对方块权图中的每一个权，请计算相应的正则张量杨表，并标出归一化系数245

10.画出SU(3)群的不可约表示［4］的方块权图，并计算降算符不为零的矩阵元，对方块权图中的每一个权，请计算相应的正则张量杨表，并标出归一化系数247

11.画出SU(3)群的不可约表示［3，1］的方块权图，计算降算符不为零的矩阵元，并对表示中的重权，计算各状态的正则张量杨表及其按张量基？abcd的展开式249

12.对SU(3)群的不可约表示［2，1］，请把用正则张量杨表表出的正交基与盖尔范德基联系起来254

13.对SU(3)群的不可约表示［3，1］，把每一个正交归一基都用正则张量杨表的线性组合表出，并请把正交归一基与盖尔范德基联系起来256

14.试用方块权图方法，计算SU(3)群直乘表示［2］？［1］的克莱布施-戈登级数和克莱布施-戈登系数262

三、SU(3)群的平面权图和强子波函数的组合266

15.画出SU(3)群的不可约表示［3，1］的平面权图，对每一个权，标上相应的正则张量杨表(不必正交归一)267

16.中子由一个u夸克和两个d夸克组成，试写出S3＝-1/2的中子味道部分和自旋部分波函数的形式268

四、分导表示269

17.把SU(4)群表示［3，1］关于SU(3)群的分导表示约化，并列出SU(3)群各不可约表示状态基的正则张量杨表270

18.把SU(6)群若干不可约表示，作为子群SU(3)？SU(2)的分导表示，分别按子群不可约表示分解271

19.把SU(5)群表示［1］，［1，1］和［2，13］作为子群SU(3)？SU(2)的分导表示，分别按子群不可约表示分解273

五、SU(N)群的开西米尔算子274

20.计算SU(N)群一列杨图(［1r］)对应表示的开西米尔T2(［1r］)和A(［1r］)277

21.计算SU(6)群不可约表示［3］的开西米尔T2(［3］)和A(［3］)277

22.计算SU(5)群一行杨图(［λ］＝［λ，0，0，0］)对应表示的开西米尔T2(［λ］)和A(［λ］)278

第八章 SO(N)群和洛伦兹群280

一、SO(N)群的不可约张量表示280

1.计算若干用杨图标记的SO(6)群不可约表示的维数281

2.将若干SU(7)群不可约表示按SO(7)群不可约表示分解282

3.计算若干不可约张量表示直乘分解的克莱布施-戈登级数285

二、SO(N)群的旋量表示285

4.计算若干用杨图标记的SO(6)群不可约旋量表示的维数288

三、SO(4)群和洛伦兹群290

6.计算若干固有洛伦兹变换的参数295

5.讨论SO(4)群的类并计算它们在不可约表示Djk中的特征标295

7.研究狄拉克旋量表示的共轭表示的性质296

8.试讨论固有洛伦兹群的类297

9.试把固有洛伦兹群任意元素表成矩阵的指数函数形式301

10.利用坐标矩阵X＝-ix41+？xaσa证明固有洛伦兹群和SL(2，C)群的同态关系302

第九章 李群和李代数305

一、半单李代数的分类305

1.证明单纯李代数的根链长度不大于4307

2.试证明l秩李代数有l个线性无关的素根307

3.试研究两素根间夹角的可能取值和夹角与素根长度平方比的关系308

4.试由E6李代数的邓金图计算它的嘉当矩阵308

5.已知某单纯李代数的嘉当矩阵，试画出它的邓金图309

6.试由嘉当矩阵计算C2李代数的全部正根309

7.试由嘉当矩阵计算B3李代数的全部正根310

8.试由嘉当矩阵计算D4李代数的全部正根311

二、不可约表示和谢瓦莱基312

9.画出C2李代数的两个基本表示(1，0)，(0，1)和伴随表示(2，0)的方块权图和平面权图315

10.计算C2李代数直乘表示(1，0)×(1，0)分解的克莱布施-戈登级数和克莱布施-戈登系数316

11.计算C2李代数直乘表示(0，1)×(0，1)分解的克莱布施-戈登级数和克莱布施-戈登系数319

12.试用l维空间对称分布的(l十1)个基V？表出C？李代数的基本主权和全部根矢量324

13.已知各有关表示维数，外尔轨道长度和表示所包含各主权重数，试计算G2李代数直乘表示(1，0)×(1，0)分解的克莱布施-戈登级数325

14.已知各有关表示维数，外尔轨道长度和表示所包含的各主权重数，试计算F4李代数直乘表示(0，0，0，1)×(0，0，0，1)分解的克莱布施-戈登级数327

三、D维欧氏空间的角动量算符和本征状态329

15.分别计算D维空间总角动量平方算符在SO(D)群最高权表示中的本征值，其中D＝2n或D＝2n+1332

16.在D维空间计算各向同性的二体系统的角动量本征函数基，并由此简化薛定谔方程335

17.在D维空间计算各向同性的三体系统的角动量本征函数基，并由此简化薛定谔方程340

参考文献344