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第一章 约束的研究6

1.1 运动的多维空间描述6

1.1.1 笛卡尔位形空间C6

1.1.2 事件空间E8

1.1.3 状态空间S13

1.1.4 状态时间空间T14

1.2 约束的某些数学性质15

1.2.1 几何约束15

1.2.2 Pfaff约束17

1.2.3 Pfaff约束的可积性定理17

1.2.4 可达性28

1.2.5 不等式约束33

1.3 虚变更34

1.3.1 可能位移34

1.3.2 虚位移35

1.3.3 约束为完整时虚位移的含义36

1.3.4 虚速度38

1.3.5 状态的等时可能变更与虚变更40

1.4 约束的可能变元及其微变空间44

1.4.1 可能位形及其微变空间44

1.4.2 可能速度及其微变空间45

1.4.3 可能加速度及其微变空间47

1.4.4 一阶约束的微变线性空间49

1.4.5 高阶约束微变线性空间的一般理论50

1.5 约束的力学性质55

1.5.1 约束力55

1.5.2 约束力的虚功58

1.5.3 理想约束假定63

1.5.4 约束力在微变空间上的作用64

1.5.5 理想约束下的约束力，Lagrange乘子64

1.5.6 非理想约束的约束力67

1.5.7 第一类Lagrange方程67

1.5.8 平衡问题72

习题78

2.1.1 完整约束组的区分84

2.1 广义坐标84

第二章 Lagrange力学84

2.1.2 广义坐标86

2.1.3 广义速度与广义加速度91

2.1.4 其他约束93

2.1.5 微变线性空间的变换94

2.1.6 完整系统的虚位移，虚速度与等时变分98

2.1.7 一些重要的数目，自由度100

2.1.8 多余坐标101

2.2 第二类Lagrange方程104

2.2.1 动能104

2.2.2 动力学基本方程与Lagrange基本方程107

2.2.3 第二类Lagrange方程110

2.2.4 广义力112

2.3 第二类Lagrange方程的古典研究（Ⅰ）114

2.3.1 第二类Lagrange方程的结构114

2.3.2 有势系统的Jacobi积分与Whittaker定理117

2.3.3 力学系统机械能变化规律，陀螺力与耗散力127

2.3.4 分离变数与局部能量积分，Liouville系统132

2.3.5 循环坐标与循环积分137

2.4 第二类Lagrange方程的古典研究（Ⅱ）142

2.4.1 Legendre变换与Routh方程142

2.4.2 Routh函数的结构147

2.5.1 转子陀螺仪的动力学方程及其古典解155

2.5 陀螺动力学的某些问题155

2.5.2 陀螺仪动力学的小偏角近似理论与进动简化理论161

2.5.3 Cardan陀螺仪的动力学方程及其古典解164

2.5.4 修正的近似方法——迭代解法169

2.6 平衡的稳定性与运动的稳定性172

2.6.1 平衡位置的稳定性172

2.6.2 运动稳定性的一般概念176

2.6.3 Ляпунов函数与Ляпунов关于稳定性的定理180

2.6.4 刚体绕固定点转动及陀螺仪的运动稳定性问题186

2.6.5 关于不稳定性的定理196

2.6.6 线性系统的稳定性与按线性近似来决定稳定性199

2.6.7 车辆行驶的运动稳定性201

2.7 小振动理论204

2.7.1 保守系统的小振动（在一般广义坐标下自由振动的分析）205

2.7.2 主坐标描述下的自由振动与强迫振动213

2.7.3 动力载荷对陀螺仪漂移的影响与等刚度设计原则216

2.7.4 主频率的极值性质与分布界限222

2.8 陀螺系统的一般理论227

2.8.1 陀螺力与陀螺系统227

2.8.2 陀螺仪系统229

2.8.3 “随遇解”的稳定性与章动233

2.8.4 进动简化方程的可用性237

习题241

3.1.1 典型非完整系统的例子248

3.1 引论248

第三章 非完整系动力学248

3.1.2 乘子方程与Maggi方程253

3.1.3 dδ运算与Lagrange-Volterra方程256

3.1.4 非完整系统的能量关系式262

3.2 Lagrange乘子方程264

3.2.1 冰橇的简单问题264

3.2.2 冰橇运动的Чаплыгин问题266

3.2.3 滚盘问题270

3.3 约束对动能的嵌入，Чаплыгин方程274

3.3.1 Lindel？f错误274

3.3.2 Ча？лыrин方程276

3.3.3 例：斜冰面上的冰橇问题（Чаплыгин情形和简单情形）279

3.3.4 Воронец方程282

3.3.5 推广的Воронец方程285

3.4 准速度与准坐标287

3.4.1 准速度与准坐标的含义287

3.4.2 准坐标的变分290

3.4.3 函数对准速度与准坐标的导数291

3.4.4 、准坐标的dδ交换公式291

3.5 Hamel方程与Volterra方程294

3.5.1 完整系的Hamel方程295

3.5.2 非完整系的Hamel方程299

3.5.3 Volterra方程302

3.5.4 用dδ交换差公式建立动力学方程305

3.6 Gibbs-Appell方程308

3.6.1 Gibbs-Appell方程的建立309

3.6.2 K？nig定理313

3.6.3 刚体的Gibbs函数314

3.6.4 滚盘问题318

3.6.5 倾斜转台上的滚球319

3.7.1 Kane方程及转移矩阵320

3.6.6 球在固定曲面上的滚动323

3.7 Kane方法325

3.7.2 关于Kane方法的儿点说明328

3.7.3 例332

3.7.4 一阶非线性非完整系统的Kane方程340

习题343

第四章 力学的变分原理345

4.1 分析动力学的普遍原理与Gauss原理346

4.1.1 分析动力学的普遍原理346

4.1.2 力学系统运动的拘束函数z348

4.1.3 Gauss原理350

4.1.4 由Gauss原理导出Jourdian原理及d Alembert-Lagrange原理351

4.1.5 Gauss原理的完备性351

4.2 关于广义的d Alembert-Lagrange原理351

4.3 关于变分的某些说明357

4.3.1 位形的虚变分，虚速度357

4.3.2 广义坐标的自由等时变分与非自由等时变分359

4.3.3 广义坐标的非等时虚变分363

4.3.4 Voss变分365

4.3.5 端点条件366

4.3.6 函数与泛函的变分367

4.4 Hamilton原理370

4.4.1 Hamilton原理的一般形式370

4.4.2 完整系统的Hamilton原理373

4.4.3 非完整系的Hamilton原理375

4.5 积分原理的某些推广形式383

4.5.1 H？lder原理383

4.5.2 Voss原理385

4.6.1 Maupertuis-Lagrange原理的建立387

4.6 Maupertuis-Lagrange最小作用量原理387

4.6.2 Maupertuis-Lagrange原理的充分性390

4.6.3 Maupertuis-Lagrange原理的几种表达形式392

习题398

第五章 Hamilton力学401

5.1 Hamilton正则方程401

5.1.1 Legendre变换与Hamilton正则方程401

5.1.2 动力学函数的等时变分与Hamilton正则方程406

5.2 Hamilton正则方程的第一积分与应用411

5.2.1 一般概念与经典积分411

5.2.2 Poisson方法414

5.2.3 经典积分的应用——降阶法420

5.2.4 Jacobi最后乘子的应用422

5.3 Hamilton正则方程的解析性质426

5.3.1 第一个正则性条件——广义Hamilton原理与Liven原理426

5.3.2 第二个正则性条件——Pfaff型等价定理429

5.3.3 第三个正则性条件——Poincaré积分不变量，Liouville定理433

5.4 正则变换与接触变换447

5.4.1 状态空间的变换，正则变换，接触变换447

5.4.2 正则变换的判别条件450

5.4.3 接触变换的显式，生成函数454

5.4.4 接触变换举例460

5.4.5 接触变换的相空间测度不变性466

5.4.6 接触变换下双线性协变式的不变性468

5.4.7 接触变换与Lagrange括号，Poisson括号471

5.5 Hamilton主函数的研究482

5.5.1 Hamilton主函数483

5.5.2 主函数的微分表达式485

5.5.3 主函数所应满足的微分方程489

5.5.4 主函数能完全决定系统的运动490

5.5.5 相空间的Hamilton动力学变换是一个接触变换群491

5.6 Hamilton-Jacobi方法493

5.6.1 化零接触变换493

5.6.2 Hamilton-Jacobi定理496

5.6.3 守恒系统499

5.6.4 两自由度的可分离变量系统502

5.6.5 n个自由度的可分离变量系统512

5.6.6 摄动理论519

5.7 天体力学引论521

5.7.1 二体问题的Hamilton-Jacobi解521

5.7.2 正则常数与轨道根数526

5.7.3 天体力学的一般问题529

5.7.4 行星运动的摄动方程533

5.7.5 正则常数摄动方程与轨道根数摄动方程537

习题540

参考文献548

索引552