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第1章 数与数系1

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1.1 数与集合2

1.1.1 数的扩展及运算2

1.1.2 数系3

1.1.3 集合7

1.1.4 数学归纳法原理10

1.2 有理数的可数性和连续统的不可数性11

1.3 Mathematica 5.0软件简介14

1.3.1 Mathematica 5.0界面介绍14

1.3.2 Mathematica 5.0的基本使用15

习题120

本章历史人物：毕达哥拉斯20

观察与思考：回文数21

第2章 函数的极限与连续22

相关链接：π的计算22

2.1 变化与函数23

2.1.1 对变化的描述23

2.1.2 函数的定义24

2.2 函数的形态26

2.2.1 函数的增减性26

2.2.2 函数的极值和凹凸性27

2.2.3 函数的对称性、最值28

2.3 基本初等函数和初等函数28

2.3.1 基本初等函数28

2.3.2 初等函数33

2.4 函数的极限34

2.4.1 离散变量函数的极限34

2.4.2 连续变量函数的极限36

2.4.3 两个重要极限40

2.4.4 无穷小量与无穷大量41

2.5 函数的连续性42

2.6 应用Mathematica 5.0软件求极限43

习题246

本章历史人物：魏尔斯特拉斯46

观察与思考：洛希极限47

第3章 差分与导数49

相关链接：海洋捕鱼问题49

3.1 离散变量函数的差分49

3.1.1 变化的表征——序列的差分49

3.1.2 变化的速度——二阶差分51

3.1.3 高阶差分54

3.1.4 变化形态的判断——差分的应用55

3.2 连续变量函数的导数58

3.2.1 连续变量函数导数的定义58

3.2.2 导数的计算62

3.2.3 微分的定义63

3.2.4 连续变量函数的高阶导数65

3.3 导数的应用66

3.3.1 中值定理66

3.3.2 函数的单调性68

3.3.3 函数的极值69

3.3.4 函数的凹向与拐点74

3.4 应用Mathematica软件计算导数75

3.4.1 初等函数的导数75

3.4.2 隐函数的导数76

3.4.3 求高阶导数76

3.4.4 求函数的微分77

习题378

本章历史人物：欧拉80

观察与思考：存储模型80

第4章 积分的概念82

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4.1 不定积分82

4.2 定积分84

4.2.1 定积分的概念及性质86

4.2.2 微元法89

4.2.3 微积分基本公式91

4.3 积分的应用93

4.3.1 已知曲线斜率求原方程93

4.3.2 求平面图形的面积93

4.3.3 求函数的平均值94

4.4 应用Mathematica 5.0软件计算积分95

习题498

本章历史人物：牛顿100

观察与思考：求定积分的另一种方法——梯形法100

第5章 微分方程102

相关链接：湖泊污染物变化率问题102

5.1 微分方程的定义及示例102

5.2 微分方程的分类104

5.3 微分方程的解105

5.4 一阶线性微分方程106

5.5 微分方程建模109

5.5.1 数学建模的一般方法109

5.5.2 微分方程建模的示例110

5.6 应用Mathematica 5.0软件求解微分方程114

习题5117

本章历史人物：柯西118

观察与思考：这些受害者死了多久？119

第6章 级数120

相关链接：银行通过存款和放款“创造”货币120

6.1 常数项级数120

6.1.1 常数项级数的概念120

6.1.2 常数项级数的性质122

6.2 常数项级数的判敛法124

6.2.1 正项级数124

6.2.2 交错级数127

6.2.3 绝对收敛127

6.2.4 利用级数理论解决齐诺悖论问题129

6.3 幂级数及其展开130

6.3.1 幂级数131

6.3.2 幂级数的展开134

6.3.3 泰勒公式136

6.4 傅里叶级数初步138

6.5 利用Mathematica 5.0软件进行级数运算140

6.5.1 无穷级数求和140

6.5.2 将函数展开成幂级数142

6.5.3 幂级数求导数和求积分的运算143

习题6143

本章历史人物：傅里叶145

观察与思考：螺旋周期（费波纳茨级数）在股票市场的应用145

第7章 多元微积分147

相关链接：承包商人的故事147

7.1 多元函数的基本概念147

7.2 多元函数的极限和连续性148

7.2.1 多元函数的极限148

7.2.2 多元函数的连续性150

7.3 多元函数的偏导数和全微分151

7.3.1 多元函数的偏导数151

7.3.2 多元函数的高阶偏导数152

7.3.3 多元函数的全微分153

7.3.4 多元函数的极大和极小值154

7.4 多元函数的积分156

7.4.1 二重积分的概念和性质156

7.4.2 二重积分在直角坐标系下的计算160

7.5 应用Mathematica 5.0软件求解多元函数的问题167

7.5.1 多元函数的偏导数167

7.5.2 多元函数的全微分170

7.5.3 求多元函数的重积分170

习题7172

本章历史人物：泰勒173

观察与思考：拉格朗日乘子法174

第8章 线性代数175

相关链接：不定方程175

8.1 应用线性方程组的模型176

8.1.1 矩阵与向量176

8.1.2 线性方程组的模型179

8.2 矩阵180

8.2.1 矩阵的运算180

8.2.2 矩阵的初等变换184

8.2.3 向量的线性相关性187

8.3 行列式190

8.3.1 行列式的定义和性质190

8.3.2 克拉默法则195

8.4 矩阵的应用196

8.4.1 求解线性方程组196

8.4.2 矩阵的特征值和特征向量204

8.5 线性规划简介205

8.6 Mathematica 5.0软件在线性代数中的应用207

8.6.1 利用Mathematica 5.0进行矩阵的运算207

8.6.2 利用Mathematica 5.0求特征值和特征向量211

8.6.3 利用Mathematica 5.0求解线性方程组212

8.6.4 利用Mathematica 5.0软件求解线性规划问题213

8.7 线性代数模型的示例215

习题8217

本章历史人物：雅可比219

观察与思考：公寓建筑的设计219

第9章 概率论与数理统计220

相关链接：用统计学的检验方法来确认噪声标准220

9.1 概率221

9.1.1 概率的基本知识221

9.1.2 古典概型223

9.1.3 条件概率及乘法公式224

9.1.4 事件的独立性225

9.1.5 全概率公式与贝叶斯公式227

9.1.6 贝努利概型229

9.2 随机变量及其分布229

9.2.1 随机变量的有关概念229

9.2.2 几种重要的离散型随机变量233

9.2.3 几种重要的连续型随机变量234

9.2.4 随机变量的数字特征238

9.3 统计检验241

9.3.1 基础知识242

9.3.2 总体参数的点估计245

9.3.3 总体参数的区间估计246

9.3.4 常用的统计检验分析法248

9.4 相关分析与线性回归251

9.4.1 相关分析251

9.4.2 一元线性回归254

9.5 Mathematica 5.0软件在概率与数理统计中的应用256

9.5.1 用数学软件描述常用分布256

9.5.2 参数估计260

9.5.3 单个正态总体均值的假设检验263

9.5.4 线性回归266

习题9267

本章历史人物：费马270

观察与思考：手机市场的统计与调查271

附录 常用数表272

附表1 泊松分布概率值表272

附表2 标准正态分布函数表276

附表3 t分布表278

附表4 x2分布表279

习题答案280

习题1答案280

习题2答案280

习题3答案281

习题4答案285

习题5答案286

习题6答案287

习题7答案289

习题8答案291

习题9答案295

参考文献298