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第1章 典型方程的导出、定解问题及二阶方程的分类与化简1

1.1典型方程的导出2

1.1.1守恒律2

1.1.2变分原理9

1.2偏微分方程的基本概念13

1.2.1定义13

1.2.2定解条件和定解问题14

1.2.3定解问题的适定性15

1.3二阶线性偏微分方程的分类与化简16

1.3.1两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简17

1.3.2多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类20

习题122

第2章 Fourier级数方法——特征展开法和分离变量法24

2.1引言24

2.2预备知识26

2.2.1二阶线性常微分方程的通解26

2.2.2线性方程的叠加原理28

2.2.3正交函数系28

2.3特征值问题29

2.3.1Sturm-Liouville问题30

2.3.2例子32

2.4特征展开法35

2.4.1弦振动方程的初边值问题35

2.4.2热传导方程的初边值问题39

2.5分离变量法——Laplace方程的边值问题41

2.5.1圆域内Laplace方程的边值问题41

2.5.2矩形上的Laplace方程的边值问题44

2.6非齐次边界条件的处理47

2.7物理意义、驻波法与共振50

习题252

第3章 积分变换法58

3.1Fourier变换的概念和性质58

3.2Fourier变换的应用64

3.2.1一维热传导方程的初值问题64

3.2.2高维热传导方程的初值问题68

3.2.3一维弦振动方程的初值问题69

3.2.4其他类型的方程72

3.3半无界问题：对称延拓法74

3.3.1热传导方程的半无界问题74

3.3.2半无界弦的振动问题76

3.4Laplace变换的概念和性质78

3.5Laplace变换的应用81

习题384

第4章 波动方程的特征线法、球面平均法和降维法88

4.1弦振动方程的初值问题的行波法88

4.2d′Alembert公式的物理意义91

4.3三维波动方程的初值问题——球面平均法和Poisson公式93

4.3.1三维波动方程的球对称解93

4.3.2三维波动方程的Poisson公式94

4.3.3非齐次方程、推迟势96

4.4二维波动方程的初值问题——降维法97

4.5依赖区域、决定区域、影响区域、特征锥100

4.6Poisson公式的物理意义、Huygens原理102

习题4103

第5章 位势方程106

5.1Green公式与基本解106

5.1.1Green公式106

5.1.2基本解的定义107

5.2调和函数的基本积分公式及一些基本性质108

5.3Green函数112

5.3.1Green函数的概念112

5.3.2Green函数的性质114

5.4几种特殊区域上的Green函数及Dirichlet边值问题的可解性117

5.4.1球上的Green函数、Poisson公式117

5.4.2上半空间的Green函数、Poisson公式122

5.4.3四分之一平面上的Green函数124

5.4.4半球域上的Green函数124

5.5调和函数的进一步性质——Poisson公式的应用126

习题5129

第6章 三类典型方程的基本理论132

6.1双曲型方程132

6.1.1初值问题的能量不等式、解的适定性132

6.1.2混合问题的能量模估计与解的适定性138

6.2椭圆型方程141

6.2.1极值原理、最大模估计与解的惟一性142

6.2.2能量模估计与解的惟一性148

6.3抛物型方程150

6.3.1极值原理与最大模估计150

6.3.2第一初边值问题解的最大模估计与惟一性151

6.3.3第三初边值问题解的最大模估计与惟一性153

6.3.4初值问题的极值原理、解的最大模估计与惟一性154

6.3.5初边值问题的能量模估计与解的惟一性157

习题6159

附录一 积分变换表165

附录二 参考答案167

参考文献175