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前言1

第一章 插值方法1

1 Lagrange 插值公式2

1.1 公式的构造2

1.2 插值多项式的余项7

2 逐步线性插值10

3 Hermite 插值13

3.1 问题的提出13

3.2 Hermite 插值函数的构造13

3.3 Hermite 插值公式的余项15

4.2 样条函数的基本概念19

4.1 问题的提出19

4 样条函数插值19

4.3 三次样条函数插值20

5 二元函数分片插值25

5.1 问题的提出25

5.2 二元插值函数的构造方法26

5.3 矩形域上分片插值问题26

5.4 三角形区域的插值34

第二章 最佳逼近方法39

1 Weierstrass 定理40

2 最佳逼近的概念41

3 Remez 方法49

4.1 正交函数系的概念52

4 正交多项式52

4.2 正交多项式的性质58

5 Chebyshev 多项式及其应用62

5.1 Chebyshev 多项式的引出62

5.2 Chebyshev 多项式的应用65

6 最佳平方逼近71

6.1 最小二乘拟合多项式71

6.2 一般最小二乘逼近问题的提法75

6.3 正规方程组78

7 用正交多项式作最佳平方逼近84

7.1 用 Legendre 多项式作最佳平方逼近85

7.2 函数按 Chebyshev 多项式展开86

第三章 Fourier 方法89

1 Fourier 分析89

2 磨光函数在 Fourier 分析中的应用91

2.1 问题的提出91

2.2 磨光函数及其应用92

3 有限 Fourier 展式99

4 快速 Fourier 变换(FFT)103

第四章 数值积分108

1 引言108

2 Newton-Cotes 型求积公式109

2.1 公式的一般形式109

2.2 常用的 Newton-Cotes 公式112

3.1 复化梯形公式117

3 复化求积公式117

3.2 复化 Simpson 公式119

4 区间逐次分半法121

5 Romberg 方法123

6 Gauss 型求积公式127

6.1 问题的提出127

6.2 Gauss 型求积公式的构造129

6.3 常用的 Gauss 型求积公式133

6.4 Gauss 型求积公式的余项136

7 若干个重要积分的处理140

1 引言148

第五章 线性代数方程组的数值解法148

2 Gauss 消去法149

2.1 Gauss 消去法的基本思想149

2.2 主元消去法153

2.3 Gauss 消去法的矩阵形式157

3 矩阵的三角分解159

4 正定矩阵的 Cholesky 分解法162

5 追赶法167

6 向量和矩阵范数169

6.1 向量范数169

6.2 矩阵的范数172

7.1 Jacobi 迭代格式177

7 Jacobi 迭代法177

7.2 Jacobi 迭代法的收敛性179

8 Gauss-Seidel 迭代法182

8.1 Gauss-Scidel 迭代格式182

8.2 Gauss-Seidel 迭代法的收敛性184

9 逐次超松弛(SOR)迭代法188

9.1 SOR 迭代格式188

9.2 SOR 迭代法的收敛性190

第六章 常微分方程初值问题的数值解法193

1 引言193

2 改进的 Euler 方法196

3 Runge-Kutta 方法201

4 线性多步法206

4.1 Adams 外插法207

4.2 Adams 内插法209

第七章 变分原理213

1 泛函分析中的一些概念213

1.1 Hilbert 空间213

1.2 算子的概念218

1.3 Sobolev 空间220

2 数学物理中的变分问题225

3 二次泛函的极值问题229

4 一维的变分问题234

5.1 第一类边值问题243

5 二维变分问题243

5.2 其它边值问题249

6 变分问题的近似计算250

6.1 Ritz 方法251

6.2 Galerkin 方法253

第八章 偏微分方程边值问题的有限差分法259

1 有限差分法的基本思想259

1.1 差商的概念259

1.2 差分法的基本思想与解题步骤262

1.3 差分格式的相容性、收敛性和稳定性264

2 直接差分方法267

3 基于守恒原理的差分格式271

4 极坐标形式的差分格式273

5 边界条件的处理277

5.1 第一类边界条件277

5.2 第三类边界条件279

6 基于变分原理的差分格式283

第九章 偏微分方程初值问题的有限差分法291

1 典型问题291

2 差分格式及其收敛性与稳定性293

3 一维对流弥散问题的差分格式299

3.1 对流方程的差分格式299

3.2 弥散方程的差分格式305

3.3 对流弥散方程的差分格式314

4 二维对流弥散问题的差分格式316

4.1 一维格式的直接推广318

4.2 交替方向隐式格式319

4.3 守恒型差分格式323

4.4 三角形网格有限差分法328

第十章 有限元方法334

1 有限元方法解题分析334

1.1 从 Ritz 法出发335

1.2 从 Galerkin 法出发344

2.1 写出相应的变分问题349

2.2 区域剖分349

2 解二维问题的三角形元349

2.3 确定单元基函数350

2.4 形成有限元方程357

2.5 边界条件的处理362

3 解二维问题的高次元367

3.1 三角形元的高次插值368

3.2 解二维问题的矩形元371

3.3 二维等参数单元375

4 非稳定扩散问题的有限元解法383

5 应用举例390

第十一章 边界积分方程法401

1 引言401

2.1 广义 Green 公式402

2 广义 Green 公式·基本解402

2.2 基本解404

3 化椭圆型方程为边界积分方程409

3.1 化 Laplace 方程为边界积分方程409

3.2 化 Helmholtz 型方程为边界积分方程417

4 化抛物型方程为边界积分方程420

5 边界有限元法424

5.1 椭圆型方程边值问题的边界有限元法424

5.2 抛物型方程初边值问题的边界有限元法433

6 抛物方程边界元技术的双方程法439

6.1 椭圆型方程的新型边界积分方程440

6.2 双方程方法449

7 应用举例454

附篇一 最优化方法458

1 最优化问题及其数学模型458

2 线性规划解法464

2.1 线性规划的基本概念与基本性质465

2.2 单纯形方法的形成467

2.3 单纯形方法计算步骤470

2.4 使用表格形式的单纯形方法472

2.5 求初始基可行解的方法477

3 无约束问题的直接搜索法483

3.1 一维搜索法483

3.2 单纯形方法488

4 使用导数的搜索法492

4.1 最速下降法(梯度法)493

4.2 牛顿法494

4.3 最小二乘法496

5 罚函数法501

5.1 外点法502

5.2 内点法505

附篇二 灰色系统方法浅述509

1 引言509

2 关联分析511

2.1 关联分析的含义511

2.2 关联系数513

2.3 关联度及其性质515

2.4 优势分析518

3 灰色系统建模与预测522

3.1 数据的预处理522

3.2 灰色系统建模原理524

3.3 残差修正模型528

3.4 灾变预测529

3.5 模型检验法532

4 应用举例533

4.1 关联分析实例533

4.2 灰色系统预测实例537

参考文献541