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1 复数与复变函数1

1.1 复数及其代数运算1

1.1.1 复数的概念1

1.1.2 复数的代数运算1

1.2 复数的几何表示2

1.2.1 复平面2

1.2.2 复数的乘幂与方根4

1.3 区域与复球面5

1.3.1 区域5

1.3.2 复球面6

1.4 复变函数7

1.4.1 复变函数的定义7

1.4.2 映射的概念8

1.5 复变函数的极限与连续性9

1.5.1 函数的极限9

1.5.2 函数的连续性11

习题112

2.1 解析函数的概念14

2.1.1 复变函数的导数与微分14

2 解析函数14

2.1.2 解析函数的概念16

2.2 函数解析的充要条件17

2.3 初等函数19

2.3.1 指数函数20

2.3.2 对数函数20

2.3.4 三角函数与反三角函数22

2.3.3 幂函数22

2.3.5 双曲函数与反双曲函数24

习题225

3 复变函数的积分27

3.1 复变函数积分的概念27

3.1.1 积分的定义27

3.1.2 积分存在的条件及计算方法28

3.2.1 柯西（Cauchy）定理30

3.2 柯西积分定理30

3.1.3 积分的基本性质30

3.2.2 复闭路的柯西定理31

3.2.3 原函数与不定积分33

3.3 柯西积分公式35

3.4 解析函数的高阶导数36

3.5 解析函数与调和函数的关系38

*3.6 柯西积分的重要推论40

习题342

4 级数44

4.1 复数项级数44

4.2 幂级数45

4.2.1 函数项级数的概念45

4.2.2 幂级数及其收敛圆46

4.2.3 收敛半径的求法47

4.2.4 幂级数的运算48

4.3 泰勒级数49

4.4 洛朗级数52

习题456

5 留数定理及其应用58

5.1 孤立奇点58

5.1.1 孤立奇点的分类58

5.1.2 函数的零点与极点的关系60

5.1.3 函数在无穷远点的性态61

5.2 留数62

5.2.1 留数概念与留数定理63

5.2.2 留数的计算法则64

5.2.3 无穷远点的留数66

5.3 留数在定积分计算中的应用68

5.3.1 形如∫2π0R(cosθ,sinθ)dθ的积分68

5.3.2 形如∫+∞-∞R(z)dz的积分70

5.3.3 形如∫+∞-∞R(x)eiaxdx(a＞0)的积分71

*5.3.4 R(z)在实轴有一级极点的情况73

习题575

6.1.1 曲线的切线方向78

6.1 保角映射的概念78

6 保角映射78

6.1.2 Argf′(z0)的几何意义79

6.1.3 |f′(z0)|的几何意义80

6.1.4 保角映射的定义80

6.1.5 保角映射的基本问题81

6.2 分式线性映射83

6.2.1 分式线性映射的分解83

6.2.2 保角性85

6.2.3 保圆性85

6.2.4 保对称性86

6.3 几个特殊的分式线性映射86

6.3.1 把3点映为3点的分式线性映射86

6.3.2 将上半平面映射成单位圆域88

6.3.3 将单位圆域映射成单位圆域90

6.4 几个初等函数构成的映射92

6.4.1 幂函数和根式函数92

6.4.2 指数函数与对数函数94

习题697

7 傅里叶变换99

7.1 傅里叶积分与傅里叶变换99

7.1.1 傅里叶积分99

7.1.2 傅里叶变换100

7.1.3 频谱概念103

7.2 单位脉冲函数（δ函数）106

7.2.2 δ函数的定义107

7.2.1 集中质量的密度107

7.2.3 δ函数的性质110

7.3 傅里叶变换的性质113

7.3.1 线性性质113

7.3.2 位移性质113

7.3.3 相似性质114

7.3.4 微分性质114

7.3.5 积分性质115

7.3.6 卷积与卷积定理116

*7.3.7 乘积定理与能量积分117

习题7119

8 拉普拉斯变换122

8.1 拉普拉斯变换的概念122

8.1.1 拉普拉斯变换的定义122

8.1.2 拉普拉斯变换的存在定理123

8.1.3 周期函数的拉普拉斯变换125

8.2 拉普拉斯变换的性质125

8.2.3 微分性质126

8.2.2 相似性质126

8.2.1 线性性质126

8.2.4 积分性质127

8.2.5 位移性质129

8.2.6 延迟性质129

8.2.7 卷积和卷积定理131

8.3 拉普拉斯逆变换132

8.4 拉普拉斯变换的应用134

8.4.1 求解微分方程135

8.4.2 求解微分积分方程136

习题8137

9 典型方程与定解问题140

9.1 典型方程的建立140

9.1.1 弦振动方程140

9.1.2 热传导方程142

*9.1.3 传输线方程143

9.1.4 稳定问题145

9.2.1 有界弦的定解条件146

9.2 定解条件与定解问题146

9.2.2 三维热传导方程的定解条件147

9.2.3 定解问题149

9.2.4 定解问题的适定性150

9.3 线性方程与叠加原理150

9.3.1 方程的一般名称150

9.3.2 线性方程的叠加原理151

习题9153

10.1.1 两端固定155

10 分离变量法155

10.1 有界弦的自由振动155

10.1.2 两端自由159

10.1.3 两端弹性支承160

10.2 有界弦的强迫振动165

10.3 非齐次边界条件的处理168

10.4 热传导方程的混合问题172

10.5 二维位势方程的边值问题176

10.5.1 矩形膜上的温度分布176

10.5.2 圆域的拉普拉斯方程边值问题177

10.5.3 泊松方程的边值问题181

10.6 二阶常微分方程的固有值问题183

10.6.1 S-L型方程183

10.6.2 自然边界条件与周期性条件184

10.6.3 S-L型方程的固有值问题185

10.6.4 斯图姆－刘维尔理论185

*10.7 矩形膜横振动方程的混合问题188

习题10190

11 特殊函数194

11.1 贝塞尔函数194

11.1.1 贝塞尔方程与第一类贝塞尔函数194

11.1.2 贝塞尔函数的基本性质196

11.1.3 第二类贝塞尔函数197

11.1.4 贝塞尔函数的递推公式198

11.1.5 贝塞尔函数的零点200

11.1.6 贝塞尔方程的固有值问题203

*11.1.7 贝塞尔函数的其他类型206

*11.1.8 可化为贝塞尔方程的微分方程208

11.2 勒让德多项式209

11.2.1 勒让德方程及其幂级数解209

11.2.2 勒让德多项式210

11.2.3 勒让德多项式的母函数与递推公式212

11.2.4 勒让德方程的固有值问题214

11.2.5 伴随勒让德方程和伴随勒让德多项式216

11.2.6 球函数方程和球函数218

习题11221

12.1 贝塞尔函数的应用224

12.1.1 圆盘的温度分布224

12 特殊函数的应用224

12.1.2 位移与角度无关的圆膜振动226

12.1.3 悬垂弦线的横振动228

12.1.4 边界固定的圆膜振动230

*12.1.5 圆柱体的波传播232

*12.1.6 圆柱体的稳定温度分布235

12.2 勒让德多项式的应用237

12.2.1 球面外的电位237

12.2.2 半球内的稳定温度分布239

12.2.3 球内的稳定温度分布241

*12.2.4 球域的波动问题242

习题12245

13.1 行波法解一维波动方程初值问题247

13.1.1 达朗贝尔（D′Alember）公式247

13 行波法与二阶方程的分类247

13.1.2 物理意义248

*13.1.3 半直线上的波动问题250

13.2 高维齐次波动方程的初值问题251

13.2.1 三维齐次波动方程的球对称解251

13.2.2 三维波动方程的初值问题——球平均法252

13.2.3 二维波动方程的初值问题——降维法254

13.2.4 泊松公式的物理意义255

13.3.1 一维非齐次波动方程256

13.3 非齐次波动方程的初值问题256

13.3.2 高维非齐次波动方程258

13.4 两个自变量二阶方程的化简259

13.4.1 两个自变量的二阶方程259

13.4.2 特征方程和特征线260

13.4.3 二阶方程的分类260

13.4.4 二阶方程的标准形式262

习题13264

14.1.1 一维热传导方程的初值问题266

14 积分变换法266

14.1 傅里叶变换在数理方程中的应用266

14.1.2 半无界扩散问题268

14.1.3 半平面的稳定问题269

14.1.4 三维拉普拉斯方程的基本解270

*14.1.5 二维拉普拉斯方程的基本解271

14.2 拉普拉斯变换在数理方程中的应用272

14.2.1 无界电极方程的混合问题272

14.2.2 半无限长细杆的热传导问题273

14.2.3 半无限长弦的受迫振动274

14.2.4 有限长细杆的热传导275

习题14276

15 边值问题的格林函数法279

15.1 拉普拉斯方程的边值问题279

15.1.1 边值问题279

15.1.2 格林公式280

15.1.3 调和函数的性质283

15.1.4 第一、第二边值问题的惟一性与连续依赖性284

15.1.5 格林函数285

15.2 球域与半空间的格林函数及第一边值问题的解289

15.2.1 半空间的第一边值问题289

15.2.2 球域的第一边值问题291

15.2.3 圆域与上半平面的第一边值问题292

15.3 保角变换对二维调和方程的应用293

15.3.1 保角变换下的泊松方程294

15.3.2 保角变换下的格林函数295

习题15298

16 变分原理和有限元法300

16.1 变分问题300

16.1.1 泛函的极值300

16.1.2 欧拉（Euler）方程301

16.1.3 依赖于含多个自变量函数的泛函303

16.1.4 膜平衡方程304

16.2 边值问题的变分原理306

16.3.1 广义导数308

16.3 Sobolev空间与广义解308

16.3.2 Sobolev空间310

16.3.3 广义解的存在与惟一性312

16.4 Ritz-Galerkin方法314

16.4.1 Ritz方法315

16.4.2 Galerkin方法316

16.5 有限元法316

16.5.1 三角形剖分与分片插值317

16.5.2 基函数的性质319

16.5.3 单元分析321

16.5.4 总体合成323

习题16325

17 非线性方程327

17.1 激波与孤立波327

17.1.1 一阶线性偏微分方程的特征线法327

17.1.2 激波329

17.1.3 孤立波333

17.2.1 伯格斯（Burgers）方程334

17.2 某些非线性方程的初等解法334

17.2.2 基尔霍夫（Kirchhoff）变换335

17.2.3 相似变换336

17.2.4 行波解336

17.3 正则摄动法337

17.3.1 摄动问题与摄动法337

17.3.2 正则摄动法举例338

习题17340

附录A 球坐标与柱坐标的拉普拉斯算子表示式342

附录B Γ函数343

附录C 傅里叶变换简表345

附录D 拉普拉斯变换简表348

附录E 误差函数351

附录F 特殊函数简表352

习题答案356

参考文献371