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第一章　绪论1

1.1　引言1

1.2　误差的基本概念4

1.2.1　误差来源5

1.2.2　绝对误差、相对误差和有效数字5

1.2.3　运算误差分析7

1.3　浮点数系统8

1.4　计算复杂性和收敛速度11

1.5　敏度分析与误差分析12

1.6　常用数学软件介绍14

习题一18

上机习题一20

第二章　函数的多项式插值与逼近22

2.1　引言22

2.2　多项式插值问题的提法23

2.3　Lagrange插值方法24

2.4　Newton插值方法30

2.5　分段低次多项式插值34

2.5.1　等距节点上高次插值多项式的Runge现象34

2.5.2　分段线性插值36

2.5.3　Hermite插值38

2.5.4　分段三次Hermite插值40

2.5.5　三次样条插值42

2.5.6　B-样条函数46

2.6　最佳一致逼近50

2.7　最小二乘多项式拟合58

2.8　最佳平方逼近60

2.9　正交多项式62

2.10　有理插值与逼近65

2.10.1　有理插值65

2.10.2　Padé逼近67

习题二72

上机习题二75

第三章　数值微分与数值积分76

3.1　引言76

3.2　数值微分76

3.2.1　Taylor展开法76

3.2.2　插值型求导公式80

3.3　数值积分82

3.3.1　中点公式、梯形公式与Simpson公式82

3.3.2　Newton-Cotes求积公式85

3.3.3　复合求积公式88

3.3.4　加速收敛技术与Romberg求积方法91

3.3.5　Gauss求积公式97

3.3.6　积分方程的数值解102

习题三104

上机习题三106

第四章　非线性方程组数值解法110

4.1　引言110

4.2　非线性方程的迭代解法111

4.2.1　二分法111

4.2.2　不动点迭代法115

4.2.3　Newton迭代法117

4.2.4　割线法119

4.3　非线性方程组的迭代解法122

4.3.1　非线性Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代和SOR迭代123

4.3.2　Newton迭代法及其改进算法124

4.4　大范围算法简介128

习题四130

上机习题四131

第五章　快速Fourier变换134

5.1　引言134

5.2　Fourier变换与离散Fourier变换134

5.2.1　Fourier变换134

5.2.2　离散Fourier变换135

5.3　快速Fourier变换138

5.3.1　基本算法139

5.3.2　具体实例140

5.4　快速Fourier变换的应用142

5.4.1　计算卷积142

5.4.2　求解系数矩阵为循环矩阵的线性方程组143

5.4.3　求解微分方程144

习题五148

上机习题五149

第六章　常微分方程数值方法151

6.1　引言151

6.2　Euler方法153

6.2.1　Euler方法及其稳定性153

6.2.2　局部误差和方法的阶157

6.2.3　Euler方法的误差分析158

6.3　Runge-Kutta方法161

6.3.1　Runge-Kutta方法的基本思想161

6.3.2　显式Runge-Kutta方法及稳定性162

6.3.3　隐式Runge-Kutta方法171

6.4　线性多步法与预估-校正格式174

6.5　理论分析178

6.5.1　单步法的收敛性分析178

6.5.2　稳定性180

6.5.3　收敛性182

6.6　方程组及高阶方程数值方法183

6.7　刚性方程组184

6.8　分子动力学中的数值方法189

6.9　Hamilton系统的辛几何算法191

6.9.1　辛几何与辛代数的基本概念192

6.9.2　线性Hamilton系统的辛差分格式196

6.9.3　辛Runge-Kutta方法199

6.10　边值问题202

6.10.1　问题提法202

6.10.2　打靶法202

习题六205

上机习题六207

第七章　Monte Carlo方法209

7.1　引言209

7.2　随机数的产生213

7.2.1　u［0,1］伪随机数的产生214

7.2.2　一般分布的随机变量的产生215

7.3　减小方差的技巧219

7.3.1　重要性抽样法219

7.3.2　控制变量法221

7.3.3　分层抽样法222

7.3.4　对偶变量法224

7.4　Metropolis算法225

7.4.1　基本思想226

7.4.2　物理直观227

7.4.3　数学表述229

7.4.4　理论框架235

7.5　模拟退火算法236

7.5.1　基本框架238

7.5.2　理论结果240

7.6　拟Monte Carlo方法241

7.6.1　差异241

7.6.2　变差242

7.6.3　拟Monte Carlo积分243

7.6.4　拟Monte Carlo方法的缺陷244

习题七245

上机习题七246

参考文献250

符号说明254

名词索引255