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第一章 引论1

1 现代数值分析的对象与特点1

1-1数学问题与科学计算1

1-2数值问题与算法2

1-3本书的内容与特点3

2 误差分析与数值稳定性4

2-1误差与误差分类4

2-2误差分析方法5

2-3病态问题与条件数6

2-4算法的数值稳定性8

习题10

第二章 数值逼近12

1函数逼近基本概念12

1-1函数逼近与函数空间12

1-2范数与赋范空间14

1-3函数逼近的基本问题15

2 插值法16

2-1插值问题与插值多项式16

2-2插值函数的收敛性与稳定性20

2-3样条插值函数22

2-4B-样条函数26

3内积空间与正交多项式29

3-1内积与内积空间29

3-2正交多项式及其性质31

3-3勒让德多项式34

3-4切比雪夫多项式36

3-5其他正交多项式38

4函数的最佳平方逼近39

4-1最佳平方逼近问题及其解法39

4-2用正交函数族做平方逼近42

4-3曲线拟合的最小二乘法44

5周期函数逼近与快速富利叶变换48

5-1周期函数的最佳平方逼近48

5-2快速富利叶变换（FFT）51

6最佳一致逼近54

6-1最佳一致逼近多项式54

6-2零偏差最小多项式及其应用58

6-3函数按切比雪夫多项式展开63

7有理逼近65

7-1有理逼近与连分式65

7-2有理插值67

7-3帕德（Padé）逼近71

习题78

第三章 数值积分83

1数值积分概述83

1-1求积公式与代数精确度83

1-1求积公式的误差估计86

1-3求积公式的收敛性与稳定性88

2高斯型求积方法89

2-1一般理论89

2-2高斯-勒让德求积公式93

2-3高斯-切比雪夫求积公式94

2-4固定部分节点的高斯型求积公式95

3自适应求积方法97

4奇异积分与振荡函数积分计算101

4-1反常积分的计算101

4-2无穷区间积分105

4-3振荡函数积分106

5二重积分计算方法110

5-1基本方法110

5-2复合求积公式111

5-3高斯求积公式112

6积分方程数值解法113

习题115

第四章 解线性方程组的直接法118

1引言118

2初等矩阵及性质118

2-1初等下三角阵（高斯变换）119

2-2初等置换阵121

2-3初等反射阵（豪斯荷尔德变换）122

2-4平面旋转阵（吉文斯变换）126

3高斯消去法与矩阵三角分解129

3-1高斯消去法129

3-2矩阵的三角分解133

4用直接三角分解法解线性方程组137

4-1不选主元三角分解法138

4-2部分选主元三角分解法141

4-3乔莱斯基分解法（平方根法）145

4-4改进的平方根法147

5用直接法解大型带状方程组151

5-1用分解法解大型等带宽方程组151

5-2用列主元消去法解带状方程组159

5-3用改进平方根法解大型变带宽对称正定方程组及存储方法162

6向量和矩阵范数169

7矩阵的条件数与病态方程组178

7-1矩阵的条件数178

7-2关于病态方程组的解法184

8矩阵的正交分解及应用190

8-1矩阵的QR分解190

8-2矩阵的奇异值分解198

8-3应用201

习题207

第五章 解大型稀疏线性方程组的迭代法210

1引言210

2迭代法的构造211

2-1雅可比（Tacobi）迭代法212

2-2高斯-塞德尔（G-S）迭代法212

2-3解大型稀疏线性方程组的逐次超松弛迭代法（SOR）214

2-4CF 对称的SOR迭代法（SSOR方法）217

3迭代法的收敛性219

3-1一阶定常迭代法的基本定理219

3-2关于解特殊方程组迭代法的收敛性222

3-3迭代法收敛速度228

3-4分块迭代法230

4梯度法235

4-1等价性定理235

4-2最速下降法238

4-3共轭梯度法（cg）240

4-4预条件共轭梯度法（pcg）246

习题249

第六章 非线性方程组解法与最优化方法252

1引言252

1-1非线性方程组求解问题252

1-2向量值函数的导数及其性质253

2压缩映射与不动点迭代法256

2-1压缩映射与不动点定理256

2-2迭代法及其收敛性258

3牛顿法与牛顿型迭代法260

3-1牛顿法及其收敛性260

3-2牛顿法的变形263

3-3牛顿松弛型迭代法265

3-4离散牛顿法268

4拟牛顿法268

4-1拟牛顿法基本思想268

4-2秩1拟牛顿法269

5延拓法272

6无约束最优化方法276

6-1基本概念276

6-2最速下降法278

6-3一维搜索算法281

6-4牛顿下降法282

6-5变尺度法283

7非线性最小二乘问题数值方法285

习题288

第七章 矩阵特征值与特征向量计算方法292

1引言292

2幂法及反幂法297

2-1幂法297

2-2加速方法303

2-3反幂法（或逆迭代）307

3计算对称矩阵特征值的雅可比方法311

3-1引言311

3-2古典雅可比方法313

3-3雅可比过关法318

4豪斯荷尔德方法320

5 QR算法328

5-1引言328

5-2 QR算法及收敛性328

5-3带原点位移的QR方法333

5-4用单步QR方法计算上赫森伯格阵特征值335

5-5双步QR方法339

习题346

第八章 刚性常微分方程数值解法348

1初值问题数值方法348

1-1数值方法概述348

1-2数值方法的局部截断误差与收敛性351

1-3绝对稳定性与绝对稳定域355

2刚性微分方程360

3解刚性方程数值方法的稳定性概念364

4解刚性方程的线性多步法366

4-1吉尔方法及其改进366

4-2含二阶导数的线性多步法368

4-3隐性问题与迭代法369

5隐式龙格-库塔法371

5-1龙格-库塔法的一般结构371

5-2基于数值求积公式的隐式RK方法373

5-3稳定性函数与隐式RK方法的A-稳定性378

5-4对角隐式RK方法380

6非线性方法381

习题383

第九章 同步并行算法386

1引言386

1-1为什么要研究并行算法386

1-2什么是并行算法387

1-3怎样设计并行算法387

2二分法的设计模式388

2-1最简单的计算模型388

2-2算法复杂性的概念390

2-3二分法的效能分析391

3多项式求值392

4解线性递推问题395

4-1问题的提出395

4-2二分法的设计思想396

4-3奇偶二分法397

4-4奇偶二分法的矩阵表示399

4-5约简二分法403

4-6二分法的效能分析406

4-7算式分段技术407

4-8关于非线性递推的一点注记408

5解线性方程组409

5-1三角方程组的奇偶二分法410

5-2二分法的矩阵表示412

5-3三角阵求逆的二分法415

5-4三对角方程组的二分法418

5-5稠密方程组的高斯消去法423

参考书目426