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第1章 Sturm-Liouville问题的物理背景1

1.1有限长均匀细管的热传导问题1

1.2非均匀弦的自由振动问题4

1.3杆的轴向振动与扭转振动问题6

1.4微波传输问题9

1.5一维定态Schr6dinger方程11

1.6 KdV方程的Lax对12

第2章 Sturm-Liouville问题14

2.1 Sturm-Liouville算子及其特征值的定性分析14

2.1.1 Sturm-Liouville算子与Liouville变换14

2.1.2 Sturm-Liouville算子的特征函数与广义特征函数17

2.1.3 Sturm-Liouville算子特征值的定性分析23

2.1.4预解式与Green函数27

2.2 Sturm-Liouville算子特征值的定量分析31

2.2.1基本解的积分方程表达形式31

2.2.2基本解的变换算子表达形式32

2.2.3基本解和m-函数的渐近式45

2.2.4特征值的定量分析50

2.2.5特征值、对应特征函数及规范常数的渐近式55

2.3特征函数系的完备性与特征展开62

2.4特征值的交错性与特征函数的振动性65

2.4.1特征值的交错性65

2.4.2特征函数的振动性66

2.4.3与直和问题特征值的交错性72

第3章 Sturm-Liouville逆问题78

3.1基本概念78

3.2唯一性的基本定理79

3.2.1 Ambarzumian定理79

3.2.2整函数H（λ）80

3.2.3 Borg-Levinson定理86

3.3部分区间上的唯一性89

3.3.1半逆谱问题89

3.3.2部分谱逆问题90

3.3.3具有相同下标的逆特征值问题99

3.4确定势函数的封闭性条件100

3.4.1封闭性充分条件100

3.4.2 封闭性条件的应用104

3.4.3封闭性必要条件108

3.5直和空间上的逆谱问题116

3.6缺少有限个特征值时势函数的差异121

3.7逆谱数据问题和逆结点问题136

3.7.1逆谱数据问题136

3.7.2逆结点问题137

3.8势函数的重构139

3.8.1 Gelfand-Levitan方程139

3.8.2由谱数据重构Sturm-Liouville问题147

3.8.3由两组谱重构Sturm-Liouville问题148

第4章 离散Sturm-Liouville问题及逆问题150

4.1 Jacobi矩阵150

4.1.1 Sturm-Liouville问题的离散化150

4.1.2简单振动系统151

4.2 Jacobi矩阵的特征值问题153

4.2.1 Jacobi矩阵特征值的性质153

4.2.2 Jacobi矩阵特征向量的变号数155

4.2.3 Jacobi矩阵的m-函数158

4.2.4 Jacobi矩阵特征值对元素的连续依赖性162

4.2.5与Sturm-Liouville算子的比较164

4.3 Jacobi矩阵的逆问题164

4.3.1两组谱的逆特征值问题165

4.3.2 广对称情形的逆特征值问题169

4.3.3 Jacobi矩阵的逆谱数据问题173

4.3.4 Jacobi矩阵的半逆特征值问题178

4.3.5最大和最小特征值的逆问题180

4.3.6 关于Jacobi矩阵逆特征值问题的小结与猜想182

4.4逆问题的算子描述183

参考文献186

附录A 复分析196

A.1整函数的阶196

A.2 Phragmen-Lindelof定理197

A.3无穷乘积199

A.4 Hadamard因子分解定理201

A.5 Mittag-Leffler展式209

A.6 指数函数系的封闭性211

A.6.1 Jensen公式212

A.6.2 指数函数系封闭的充分条件213

A.7 Herglotz函数215

附录B 双曲微分方程220

索引224