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第1章 行列式1

1.1 行列式的基本理论1

1.1.1 行列式的定义1

1.1.2 行列式的性质2

1.1.3 行列式的计算3

1.1.4 常见的行列式4

1.1.5 克拉默法则5

1.2 应用案例分析6

1.2.1 机械手的空间位置6

1.2.2 多项式插值9

1.2.3 电路问题11

1.2.4 复线性方程组的求解12

1.2.5 几何问题的简化表示15

1.2.6 空间曲线的切线和法平面18

1.2.7 常系数线性微分方程的求解19

1.2.8 常系数线性微分方程组的求解22

1.2.9 积分方程的求解25

1.2.10 积分方程组的求解28

习题30

第2章 矩阵33

2.1 矩阵的基本理论33

2.1.1 矩阵的定义33

2.1.2 矩阵的运算35

2.1.3 逆矩阵38

2.1.4 分块矩阵38

2.1.5 矩阵的初等变换41

2.1.6 矩阵的秩44

2.2 应用案例分析45

2.2.1 图像噪声的去除45

2.2.2 图像的平移46

2.2.3 学生总评成绩的计算47

2.2.4 生产成本计算48

2.2.5 信息检索49

2.2.6 图像的伸缩51

2.2.7 信息加密52

2.2.8 多项式的乘法54

2.2.9 航班问题56

2.2.10 婚姻状况计算模型58

2.2.11 数字滤波器中传递函数的求解59

2.2.12 矩阵方程的求解62

2.2.13 数字图像的压缩63

2.2.14 直线与平面位置关系的判断64

2.2.15 直线与直线位置关系的判断65

2.2.16 平面与平面位置关系的判断67

习题67

第3章 向量组的线性相关性71

3.1 向量组线性相关的基本理论71

3.1.1 向量的定义与线性运算71

3.1.2 向量组的线性组合与线性表示72

3.1.3 向量组的线性相关性73

3.1.4 向量组的秩74

3.1.5 向量空间75

3.1.6 重要公式77

3.2 应用案例分析77

3.2.1 燃煤量的计算77

3.2.2 楼层设计78

3.2.3 宠物喂养80

3.2.4 混凝土配方81

3.2.5 人口分布83

3.2.6 调料配制86

3.2.7 药方配制88

3.2.8 不定积分的求解92

3.2.9 根式方程的求解93

3.2.10 探测数据的处理94

3.2.11 基因相似性的度量94

3.2.12 孙子定理96

3.2.13 拉格朗日插值公式96

3.2.14 多项式拟合98

习题99

第4章 线性方程组103

4.1 线性方程组的基本理论103

4.1.1 线性方程组有解的判定103

4.1.2 线性方程组解的结构104

4.1.3 线性方程组的求解方法105

4.1.4 重要结论106

4.2 应用案例分析107

4.2.1 确定插值多项式的系数107

4.2.2 二次样条插值函数的构造108

4.2.3 （k，n）门限秘密共享方案110

4.2.4 差分方程的表示112

4.2.5 种群年龄结构的估计113

4.2.6 贷款付款的计算116

4.2.7 金融公司支付基金的流动116

4.2.8 汽车租赁方案118

4.2.9 钢板稳态温度的计算119

4.2.10 化学反应方程式的配平121

4.2.11 离子方程式的配平124

4.2.12 质谱图实验分析125

4.2.13 交通流量分析126

4.2.14 行业价格的计算128

4.2.15 产销平衡问题130

4.2.16 生产安排132

4.2.17 信息纠错133

4.2.18 平面间关系的判断135

4.2.19 4点共圆的判定137

4.2.20 卫星定位138

4.2.21 森林管理140

4.2.22 CT图像的代数重建141

习题144

第5章 特征值与特征向量148

5.1 特征值与特征向量的基本理论148

5.1.1 特征值与特征向量的定义、计算及性质148

5.1.2 向量的内积149

5.1.3 正交向量组及正交矩阵149

5.1.4 相似矩阵151

5.1.5 矩阵的对角化151

5.2 应用案例分析152

5.2.1 数列通项的求解152

5.2.2 种群增长问题154

5.2.3 常染色体遗传问题156

5.2.4 经济增长问题158

5.2.5 环境污染问题159

5.2.6 人口迁移问题160

5.2.7 电路中电压的计算162

5.2.8 复特征值的应用164

习题166

第6章 二次型167

6.1 二次型的基本理论167

6.1.1 二次型及其矩阵167

6.1.2 合同矩阵168

6.1.3 二次型的标准形168

6.1.4 化二次型为标准形的方法169

6.1.5 惯性指数与惯性定理169

6.1.6 正定二次型170

6.2 应用案例分析170

6.2.1 不等式的证明170

6.2.2 约束优化问题172

6.2.3 多元二次函数的极值173

6.2.4 垄断商的最大利润175

6.2.5 n重广义积分的计算176

6.2.6 二次曲面（线）类型的判定178

习题181

第7章 综合案例分析182

7.1 有限差分法182

7.1.1 有限差分格式的构造182

7.1.2 有限差分格式的矩阵表示185

7.1.3 迭代矩阵的特征值与特征向量186

7.1.4 数值格式的稳定性188

7.1.5 数值计算结果189

7.2 神经网络算法189

7.2.1 单层神经网络190

7.2.2 两点边值问题的神经网络算法192

参考文献194