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第1章 绪论1

基本概念1

基本概念和定义1

一些典型偏微分方程4

偏微分方程与常微分方程一些比较6

学习偏微分方程的典型困难7

三类典型方程的导出7

定解条件与定解问题12

初始条件12

边界条件13

定解问题15

定解问题的适定性18

适定性概念18

不适定定解问题的例子19

线性叠加原理21

习题124

第2章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型26

两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和标准型26

多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型36

习题241

第3章 波动方程的初值（柯西）问题与行波法43

一维波动方程的初值（柯西）问题43

达朗贝尔（d'Alembert）公式43

波的传播、依赖区间、决定区域和影响区域45

无解弦的受迫振动和齐次化原理47

半无界弦的振动问题50

三维波动方程的初值问题53

三维波动方程和球对称解54

三维波动方程的泊松（Poisson）公式与球对称解54

泊松公式的物理意义58

非齐次方程的初值问题和推迟势59

二维波动方程的初值问题与降维法60

依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥64

习题366

第4章 分离变量法70

正交函数系和函数傅里叶级数展开70

正交函数系70

傅里叶级数72

齐次方程和齐次边界条件的定解问题81

波动方程的初边值问题83

热传导方程的初边值问题93

拉普拉斯方程的边值问题96

非齐次方程的定解问题101

非齐次边界条件的处理104

施图姆－刘维尔问题108

施图姆－刘维尔方程109

施图姆－刘维尔理论110

杂例113

习题4119

第5章 傅里叶变换方法126

傅里叶积分和傅里叶变换126

傅里叶变换的性质130

傅里叶变换的应用135

习题5143

第6章 拉普拉斯变换方法145

拉普拉斯变换的定义与性质145

拉普拉斯变换的应用举例158

习题6162

第7章 格林函数方法和6函数方法165

格林公式及应用165

格林公式165

格林公式的应用166

格林函数及性质171

一些特殊区域上的格林函数和狄利克雷问题的解174

δ函数及性质、拉普拉斯方程的基本解181

δ函数及性质181

基本解188

热传导方程和波动方程的基本解和格林函数方法196

热传导方程的基本解和格林函数方法196

波动方程的基本解和格林函数方法200

习题7201

第8章 极值原理和应用205

热传导方程的极值原理和应用205

拉普拉斯方程的极值原理和应用213

习题8217

第9章 能量积分方法和应用219

热传导方程和调和方程中的能量方法与应用219

波动方程的能量方法和应用222

初值问题解的唯一性和稳定性226

习题9231

第10章 贝塞尔函数和勒让德函数及应用233

贝塞尔方程与贝塞尔函数233

贝塞尔函数的性质237

微分关系和递推公式238

半奇数阶函数241

贝塞尔函数的零点242

贝塞尔函数的正交性和模值245

函数的傅里叶－贝塞尔级数247

贝塞尔函数应用举例248

勒让德方程与勒让德函数255

勒让德方程的通解255

勒让德多项式的递推公式和性质260

勒让德多项式的正交性与模值261

函数展开成勒让德多项式的级数263

勒让德函数应用举例267

习题10273

第11章 一阶拟线性偏微分方程276

基本概念与初值问题的提法276

一阶线性偏微分方程的解法及正规形式的初值问题284