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第一章 预备知识1

1 实数集1

1.1 集合1

1.2 集合的运算2

1.3 实数集3

1.4 区间与邻域4

1.5 实数的完备性与确界公理6

2 函数7

2.1 常量与变量7

2.2 映射与函数的概念7

2.3 函数的几种特性11

2.4 反函数与复合函数15

2.5 初等函数16

3 常用逻辑符号简介21

3.1 蕴涵与等价21

3.2 全称量词与存在量词21

习题122

第二章 极限与连续函数24

1 数列的极限24

1.1 数列的概念24

1.2 数列的变化趋势与数列极限的概念25

1.3 收敛数列的性质29

1.4 数列极限的四则运算31

1.5 数列收敛的判别法33

习题2.138

2 函数的极限39

2.1 函数极限的概念39

2.2 函数极限的性质及运算法则44

2.3 函数极限存在的判别法47

习题2.251

3 无穷小与无穷大52

3.1 无穷小及其性质52

3.2 无穷小的比较54

3.3 无穷大56

习题2.358

4 连续函数59

4.1 函数的增量59

4.2 函数的连续性60

4.3 函数的间断点及其分类63

习题2.465

5 连续函数的运算与初等函数的连续性66

5.1 连续函数的和、差、积、商的连续性66

5.2 反函数的连续性67

5.3 复合函数的连续性67

5.4 初等函数的连续性69

习题2.570

6 闭区间上连续函数的性质71

6.1 最值定理与有界性定理71

6.2 介值定理72

6.3 函数的一致连续性74

习题2.675

第三章 导数与微分76

1 导数的概念76

1.1 引例76

1.2 导数的概念77

1.3 函数可导与连续的关系82

习题3.183

2 求导法则84

2.1 函数四则运算的求导法则84

2.2 反函数的求导法则88

2.3 复合函数的求导法则89

2.4 初等函数的导数92

习题3.293

3 高阶导数95

3.1 高阶导数的概念95

3.2 Leibniz公式100

习题3.3101

4 隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法则102

4.1 隐函数的求导法则102

4.2 对数求导法105

4.3 由参数方程所确定的函数的求导法则107

习题3.4109

5 微分110

5.1 微分的概念110

5.2 微分的几何意义113

5.3 微分的运算法则113

5.4 高阶微分115

5.5 微分的应用116

习题3.5118

第四章 微分中值定理与导数的应用120

1 微分中值定理120

1.1 Rolle定理120

1.2 Lagrange中值定理122

1.3 Cauchy中值定理128

习题4.1130

2 L'Hospital法则132

2.1 未定式的概念132

2.2 未定式的定值法133

习题4.2141

3 Taylor公式142

3.1 Taylor多项式142

3.2 Taylor公式143

3.3 Maclaurin公式147

3.4 Taylor公式的应用149

习题4.3152

4 函数单调性的判别法152

习题4.4155

5 函数的极值与最值156

5.1 函数的极值及其求法156

5.2 最值问题159

习题4.5163

6 函数的凸性与曲线的拐点165

6.1 凸函数的概念及其判别法165

6.2 曲线的拐点及其求法167

6.3 函数图形的描绘169

习题4.6174

7 弧微分与平面曲线的曲率175

7.1 弧微分175

7.2 平面曲线的曲率177

7.3 曲率圆与曲率半径180

习题4.7182

第五章 不定积分183

1 不定积分的概念与性质183

1.1 原函数与不定积分183

1.2 基本积分公式186

1.3 不定积分的性质187

习题5.1188

2 不定积分的换元积分法189

2.1 第一换元法189

2.2 第二换元法194

习题5.2198

3 不定积分的分部积分法199

习题5.3203

4 几种典型函数的积分举例203

4.1 有理函数的积分203

4.2 三角函数有理式的积分209

4.3 无理函数积分举例210

习题5.4212

第六章 定积分213

1 定积分的概念与性质213

1.1 定积分问题的引例213

1.2 定积分的概念215

1.3 定积分的几何意义217

1.4 定积分的性质217

习题6.1220

2 微积分基本定理221

2.1 积分上限函数及其导数221

2.2 Newton-Leibniz公式223

习题6.2226

3 定积分的换元法和分部积分法226

3.1 定积分的换元积分法227

3.2 定积分的分部积分229

习题6.3232

4 定积分的应用232

4.1 微元法233

4.2 平面面图形的面积234

4.3 体积238

4.4 平面曲线的弧长240

4.5 定积分在物理上的应用243

习题6.4247

5 反常积分248

5.1 无穷积分248

5.2 无界函数积分256

习题6.5260

第七章 空间解析几何263

1 空间直角坐标系263

1.1 空间点的直角坐标263

1.2 空间两点间的距离264

习题7.1265

2 向量及其运算266

2.1 向量的概念266

2.2 向量的加减法，向量与数的乘法266

2.3 向量的坐标269

2.4 向量的方向余弦271

2.5 向量的乘积运算273

习题7.2279

3 平面及其方程280

3.1 平面的方程281

3.2 两平面的夹角284

3.3 点到平面的距离285

习题7.3286

4 空间直线及其方程287

4.1 空间直线的方程287

4.2 点、直线、平面之间的关系290

4.3 过直线的平面束方程293

习题7.4294

5 曲面及其方程296

5.1 曲面方程296

5.2 柱面296

5.3 旋转曲面297

5.4 曲面的参数方程299

习题7.5300

6 曲线及其方程300

6.1 曲线方程300

6.2 空间曲线在坐标面上的投影302

习题7.6304

7 常见的二次曲面305

7.1 椭球面305

7.2 二次锥面307

7.3 双曲面308

7.4 抛物面311

习题7.7313

习题参考答案314

参考文献348