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第1章 张量代数1

1.1 指标记法1

1.1.1 求和约定、哑指标1

1.1.2 自由指标2

1.2 Kronecker符号4

1.3 置换符号5

1.4 指标记法的运算7

1.4.1 代入法7

1.4.2 乘积法7

1.4.3 因式分解法8

1.4.4 缩并法8

1.4.5 例题——熟悉指标记法和普通记法的转换8

1.5 （协变）张量的定义10

1.5.1 坐标系的变换关系10

1.5.2 标量（纯量Scalar）11

1.5.3 协变矢量11

1.5.4 协变张量12

1.6 （协变）张量的分量13

1.7 2阶张量的运算14

1.7.1 2阶张量的加法和减法14

1.7.2 2阶张量和标量的乘积14

1.7.3 并矢积、基张量15

1.8 张量的统一定义17

1.9 张量的运算20

1.9.1 张量的并积20

1.9.2 张量的点积20

1.9.3 张量的叉积21

习题一23

第2章 张量分析24

2.1 标量的张量值函数的导数24

2.2 梯度26

2.2.1 标量场的梯度26

2.2.2 向量场的梯度27

2.2.3 张量场的梯度28

2.3 散度29

2.3.1 矢量场的散度29

2.3.2 张量场的散度30

2.4 旋度30

2.4.1 矢量场的旋度30

2.4.2 张量场的旋度31

2.5 双重微分算子32

2.6 张量函数的导数和梯度32

2.7 曲线坐标系、局部标架34

2.7.1 曲线坐标系34

2.7.2 局部标架36

2.8 对偶基矢量与Christoffel记号37

2.8.1 对偶基矢量37

2.8.2 度量张量37

2.8.3 Christoffel记号38

2.9 绝对微分、协变导数与逆变导数40

2.9.1 绝对微分、协变导数40

2.9.2 逆变导数42

2.10 不变性微分算子43

2.10.1 梯度43

2.10.2 散度43

2.10.3 旋度44

2.10.4 拉普拉斯算子44

2.11 内禀导数44

2.12 二阶张量的迹45

2.13 Gauss公式和Stokes公式46

习题二48

第3章 张量在应变分析中的应用49

3.1 位移49

3.2 几何方程50

3.3 变形52

3.4 应变分析54

3.4.1 长度的变化54

3.4.2 角度的变化56

3.5 应变张量57

3.5.1 应变张量57

3.5.2 坐标变换58

3.5.3 应变不变量及主应变60

3.6 应变协调方程60

3.6.1 Saint-Venant协调方程60

3.6.2 Volterra积分表示63

3.6.3 Volterra公式的推导63

3.6.4 多连通域64

3.6.5 等价定理65

习题三66

第4章 张量在应力分析中的应用67

4.1 应力张量67

4.1.1 外力67

4.1.2 内力67

4.1.3 六面体上的应力68

4.1.4 斜面上的应力69

4.1.5 应力张量71

4.2 力平衡方程71

4.3 主应力73

4.4 应力函数74

习题四76

第5章 张量在微分几何中的应用77

5.1 曲面的概念77

5.1.1 简单曲面及参数表示77

5.1.2 切平面、法线78

5.1.3 第一基本形式、弧长78

5.1.4 第二基本形式79

5.1.5 曲面上曲线的曲率81

5.1.6 Dupin指标线83

5.1.7 曲面的渐近方向和共轭方向84

5.1.8 曲面的主方向和曲率线87

5.1.9 曲面的主曲率、Gauss曲率、平均曲率90

5.2 曲面的基本方程和Christoffel符号92

5.3 Riemann曲率张量和Gauss-Codazzi-Mainardi公式93

习题五97

第6章 MATLAB的张量运算98

6.1 张量运算函数命令98

6.2 创建张量对象100

6.3 缩并101

6.4 张量的乘积102

6.5 协变导数103

6.6 第1类Christoffel符号105

6.7 偏导数和方向导数106

6.8 基变换107

习题六108

附录 习题解答及提示109

参考书目121