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目录1

第1章 计算方法与误差1

1.1 引言2

1.2 误差的来源及分类2

1.2.1 模型误差2

1.2.2 观测误差3

1.2.3 截断误差3

1.2.4 舍入误差3

1.3 误差的度量3

1.3.1 绝对误差和绝对误差限3

1.3.2 相对误差和相对误差限4

1.3.3 有效数字5

1.3.4 有效数字与相对误差6

1.4 误差的传播8

1.4.1 函数运算误差8

1.4.2 四则运算的误差9

1.5 减少运算误差的原则9

1.5.1 要避免相近两数相减10

1.5.2 要防止“大数吃掉小数”10

1.5.3 绝对值太小的数不宜做除数11

1.5.4 简化计算步骤，减小运算次数11

1.5.5 控制递推公式中误差的传播12

本章小结13

习题14

第2章 一元非线性方程数值解法15

2.1 引言16

2.2 二分法16

2.2.1 确定有限区间的方法16

2.2.2 二分法的求根过程17

2.2.3 二分法的算法实现18

2.3 迭代法20

2.3.1 迭代法的基本思想20

2.3.2 迭代法的几何意义21

2.3.3 迭代法收敛的条件22

2.3.4 迭代法的算法实现24

2.3.5 局部收敛性25

2.3.6 迭代法的收敛速度26

＊2.3.7 迭代过程的加速27

2.4 牛顿迭代法29

2.4.1 牛顿迭代法的基本思想29

2.4.2 牛顿迭代法的几何解释30

2.4.3 牛顿迭代法的收敛性30

2.4.4 牛顿迭代法的算法实现31

2.4.5 牛顿下山法32

2.5.2 弦截法的几何意义33

2.5.1 弦截法的基本思想33

2.5 弦截法33

2.5.3 弦截法的算法实现34

本章小结34

习题35

第3章 解线性方程组的直接方法37

3.1 引言38

3.2 解线性方程组的直接法（高斯消去法）38

3.2.1 高斯消去法的基本思想38

3.2.2 高斯消去法的算法构造40

3.2.3 高斯消去法的适用条件43

3.2.4 主元素消去法44

3.2.5 高斯-约当消去法48

3.3 矩阵三角分解法50

3.3.1 矩阵三角分解原理50

3.3.2 用三角分解法解方程组53

3.4 平方根法55

3.5 追赶法59

3.5.1 追赶法的计算公式60

3.5.2 追赶法的算法实现61

3.6 向量和矩阵的范数62

3.6.1 向量范数及其计算62

3.6.2 矩阵范数及其计算64

3.7.1 方程组的性态65

3.7 误差分析65

本章小结68

3.7.2 精度分析68

习题69

第4章 解线性方程组的迭代法71

4.1 引言72

4.2 迭代法的基本思想72

4.3 雅可比迭代法73

4.3.1 雅可比迭代法算法构造73

4.3.2 雅可比迭代法的矩阵表示74

4.3.3 雅可比迭代法的算法实现76

4.4.2 高斯-塞德尔迭代法的矩阵表示77

4.4 高斯-塞德尔迭代法77

4.4.1 高斯-塞德尔迭代法的基本思想77

4.4.3 高斯-塞德尔迭代法的算法实现78

4.5 超松弛迭代法78

4.5.1 超松弛迭代法的基本思想78

4.5.2 超松弛迭代法的矩阵表示79

4.6 迭代法的收敛性80

本章小结85

习题86

第5章 插值与曲线拟合88

5.2 插值法的基本原理89

5.1 引言89

5.3 拉格朗日插值90

5.3.1 线性插值与抛物插值91

5.3.2 拉格朗日插值多项式93

5.3.3 拉格朗日插值算法实现95

5.3.4 插值多项式的误差95

5.4 牛顿插值多项式96

5.4.1 差商及其性质97

5.4.2 牛顿插值公式99

5.4.3 牛顿插值法的算法实现100

5.4.4 等距节点的牛顿插值公式101

5.5 埃尔米特插值103

5.6 分段线性插值105

5.6.1 高次插值的龙格现象105

5.6.2 分段线性插值106

5.7 三次样条插值＊108

5.7.1 三次样条函数108

5.7.2 三次样条插值函数的求法109

5.8 曲线拟合的最小二乘法114

本章小结120

习题121

第6章 数值积分与微分123

6.2.1 数值积分的基本思想124

6.1 引言124

6.2 数值积分概述124

6.2.2 插值求积公式125

6.3 牛顿-柯特斯求积公式129

6.4 几个低阶求积公式131

6.5 复化求积公式133

6.5.1 复化梯形公式及其误差133

6.5.2 复化梯形求积法的算法实现134

6.5.3 复化辛普森公式及其误差134

6.5.4 复化辛普森求积法的算法实现135

6.6 龙贝格求积法136

6.6.1 变步长梯形公式137

6.6.2 变步长梯形求积法的算法实现138

6.6.3 龙贝格求积公式139

6.6.4 龙贝格求积法的算法实现140

＊6.7 高斯型求积公式142

6.7.1 高斯积分问题的提出142

6.7.2 高斯求积公式的构造与应用143

6.8 数值微分145

6.8.1 中点方法145

6.8.2 插值型求导公式146

本章小结148

习题149

第7章 常微分方程的数值解法151

7.1 引言152

7.2 数值方法的基本思想152

7.3 欧拉法153

7.3.1 欧拉公式153

7.3.2 梯形公式155

7.3.3 两步欧拉公式155

7.3.4 欧拉法的局部截断误差155

7.3.5 改进的欧拉公式156

7.3.6 改进的欧拉法的算法实现157

7.4.2 二阶龙格-库塔法159

7.4.1 龙格-库塔法的基本思想159

7.4 龙格-库塔法159

7.4.3 三阶龙格-库塔法161

7.4.4 四阶龙格-库塔161

7.4.5 四阶龙格-库塔法的算法实162

7.4.6 变步长的龙格-库塔法163

7.5 亚当斯方法164

7.5.1 亚当斯格式164

7.5.2 亚当斯预报—校正格式165

7.6 算法的稳定性及收敛性166

7.6.1 稳定性166

7.6.2 收敛性167

7.7 一阶常微分方程组与高阶方程168

7.7.1 一阶常微分方程组169

7.7.2 高阶方程组170

本章小结172

习题172

附录A 数值计算实验参考程序174

A1 用二分法求非线性方程实根174

A2 用迭代法求非线性方程实根175

A3 用牛顿迭代法求非线性方程实根176

A4 用高斯列主元消去法求解线性方程组177

A5 用追赶法求解线性方程组180

A6 用雅可比迭代法求解线性方程组181

A7 用高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组182

A8 拉格朗日插值多项式183

A9 牛顿插值多项式184

A10 最小二乘拟合185

A11 复化梯形求积法187

A12 复化辛普森求积法188

A13 变步长梯形求积法189

A14 龙贝格求积法190

A15 改进的欧拉法计算常微分方程初值问题191

A16 四阶龙格-库塔法计算常微分方程初值问题192

附录B 部分习题参考答案195

参考文献198