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一 数学概论3

数学3

数学的特点3

数学的分类3

世界通用的数学分类目录4

中学数学6

数学方法7

数学与数学教育内容的现代化7

数学哲学8

二 数学及其教学13

代 数学13

代数学13

集合论15

集合16

模糊集17

元素17

空集17

有限集17

无限集17

子集17

真子集18

有界数集18

开集18

闭集18

可数集19

可列集19

并集19

交集19

补集20

全集20

余集20

差集20

对称差21

对偶原则21

集合的分划21

有序偶21

直积21

Venn图22

幂集22

集合的运算22

集合的教学22

数系23

自然数系24

皮亚诺公理25

零25

零元素26

整数系26

整数环28

分数28

带分数29

整除29

因数29

倍数29

因式29

倍式29

公约数29

公因式29

最简分数29

最简分式29

约分29

最大公约数30

最高公因式30

分式的延拓原理30

公倍数30

公倍式30

最小公倍数30

最低公倍式31

通分31

小数31

有理数系32

有理数域34

有理数的教学34

公度35

无理数35

实数系38

实数域39

代数数39

超越数39

复数系40

复数域42

复数集42

虚数单位42

虚数42

共轭复数42

复平面42

模42

辐角42

辐角的主值42

复数的三角形式42

复数的代数形式43

复数的指数形式43

n次单位根43

复数的教学43

超复数44

解析式46

代数式46

代数运算46

单项式46

多项式46

有理整式47

整式47

带余除法47

商47

余数47

商式47

余式47

可约多项式47

不可约多项式48

既约多项式48

因式分解48

有理式48

分式48

n次算术根48

根式48

无理式48

幂49

指数49

对数49

利息的计算51

代数式的教学53

方程53

同解方程54

方程的同解变形54

解方程54

增根55

失根55

整式方程55

分式方程55

有理方程55

无理方程55

代数方程55

线性方程55

一元一次方程55

一元二次方程56

判别式57

韦达定理57

高次方程58

二项方程58

双二次方程58

准二次方程58

三项方程58

倒数方程58

超越方程59

方程组60

方程组的解60

解方程组60

同解方程组60

二元二次方程组60

方程观点及其教学61

不等式62

不等式的解62

不等式组63

同解不等式63

同解不等式组63

一元一次不等式63

一元一次不等式组63

一元二次不等式63

一元n次不等式64

一元高次不等式65

分式不等式65

无理不等式65

指数不等式66

对数不等式66

绝对值不等式66

解不等式的教学67

平均不等式67

算术平均数70

几何平均数70

调和平均数70

加权平均不等式70

柯西不等式70

赫尔特不等式71

闵可夫斯基不等式73

契比雪夫不等式75

贝努利不等式76

利用微积分方法证明不等式76

不等式证明的教学78

向量79

矢量80

标量80

数量80

向量的模80

绝对值80

自由向量80

共线向量80

负向量80

零向量80

单位向量80

向量相等80

向量的表示80

向量的加法81

平行四边形法则81

合向量81

分向量81

三角形法则82

多边形法则82

向量的减法82

向量的数乘82

向量的数量积82

向量的向量积83

外积83

叉积83

混合积83

数量向量积84

向量的应用84

映射87

对应88

多值映射88

常值映射88

恒等映射88

单射89

满射89

一一映射89

双射89

复合映射89

逆映射89

函数89

变量91

自变量91

因变量91

常量91

定义域91

值域91

单值函数91

多值函数91

区间92

显函数92

隐函数92

分段函数92

函数概念的教学92

奇函数与偶函数96

单调函数96

严格单调函数97

函数的极值97

函数的最值98

凸函数98

凹函数98

反函数98

周期函数99

有界函数100

无界函数100

基本初等函数100

初等函数100

代数函数100

超越函数100

有理函数100

无理函数101

复合函数101

正比例函数101

反比例函数101

一次函数102

截距102

二次函数102

二次函数的教学103

幂函数105

有理数指数幂函数105

无理数指数幂函数107

复数指数幂函数108

指数函数108

对数函数108

幂函数、指数函数、对数函数的教学109

取整函数110

符号函数110

狄利克雷函数110

数列111

子数列111

数列的通项公式111

有穷数列112

无穷数列112

有界数列112

单调数列112

摆动数列112

等差数列112

等差中项113

等差数列的通项公式113

等差数列前n项之和的公式113

等比数列113

等比中项114

等比数列的通项公式114

等比数列前n项之和的公式114

差分数列115

一阶差分数列115

二阶差分数列115

n阶差分数列115

高阶等差数列115

递归数列116

线性递归数列116

斐波那契数列117

调和数列118

分期付款的计算公式119

等差等比数列的教学119

加法原理121

乘法原理121

排列122

环状排列122

重复排列123

不尽相异元素的排列123

组合123

重复组合124

排列组合的教学124

二项式定理125

杨辉三角形126

多项式定理127

二项式定理的教学128

数学归纳法129

数学归纳法的教学130

三 角学133

三角学133

角的概念的推广134

象限与象限角135

弧与角的度量135

三角函数136

三角函数的性质138

正弦曲线的变换139

振幅变换140

周期变换140

相位变换140

三角函数值140

三角公式140

同角三角函数公式144

诱导公式144

加法定理144

和角公式144

倍角公式144

半角公式144

和差化积144

积化和差144

三角恒等式144

万能公式145

三角公式的教学145

正弦定理147

余弦定理147

射影定理148

正切定理148

半角定理149

模尔外德公式149

解三角形及其教学150

反三角函数151

主值区间153

反三角函数间的关系153

三角方程154

反三角函数与三角方程的教学155

几 何学157

几何学157

中学平面几何160

平面几何入门教学161

几何图形164

直线164

射线165

线段165

距离165

公度166

折线166

角167

平角168

周角168

直角168

锐角169

钝角169

邻角169

补角169

邻补角169

余角169

对顶角169

垂直169

平行170

平行线170

角平分线170

垂线170

垂直平分线170

中垂线170

斜线170

三线八角170

同位角171

内错角171

同旁内角171

同旁外角171

平行公理171

非欧几里得几何学172

双曲几何173

椭圆几何173

三角形173

三角形的内角174

三角形的外角174

等腰三角形174

等边三角形174

正三角形174

锐角三角形174

直角三角形174

钝角三角形174

斜三角形174

三角形的角平分线174

三角形的中线174

三角形的高174

三角形的中位线174

全等三角形174

全等三角形的教学175

勾股定理177

陈子定理180

商高定理180

三角形的五心180

外心181

内心181

重心181

垂心181

旁心181

海仑公式182

三斜求积公式182

多边形182

正多边形183

平行四边形183

矩形184

菱形184

正方形184

梯形184

圆185

弦186

弦心距186

弧186

垂径定理186

圆心角186

圆周角186

弦切角186

直线和圆的位置关系187

切线187

割线187

圆幂定理187

相交弦定理188

割线定理188

切割线定理188

圆和圆的位置关系188

两圆外离189

两圆外切189

两圆相交189

两圆内切189

两圆内含189

圆心距189

公共弦189

连心线189

公切线189

连接189

多边形的外接圆190

圆的内接多边形190

内对角190

圆的内接四边形190

多边形的内切圆190

圆的外切多边形190

圆的外切四边形190

圆周长191

圆面积191

圆周率191

扇形193

弓形194

轨迹194

基本轨迹194

尺规作图195

作图公法195

基本作图195

尺规作图可能问题197

尺规作图不能问题197

几何三大问题198

交轨法198

三角形奠基法198

等分圆周问题198

等周问题198

黄金分割199

中外比199

几何变换199

合同图形199

合同变换200

反射200

平移200

旋转201

中心对称201

轴对称201

平面对称201

相似三角形201

相似多边形202

相似图形202

相似变换203

位似图形203

位似变换204

反演变换204

相似三角形的教学205

中学立体几何及其教学206

空间多边形209

平面209

平面的教学210

异面直线212

异面直线所成的角213

异面直线的公垂线213

异面直线的距离213

异面直线互相垂直213

直线和平面平行213

直线和平面垂直213

平面的垂线214

直线的垂面214

点到平面的距离214

直线和平面的距离214

点在平面上的射影214

斜线在平面上的射影214

直线和平面所成的角214

三垂线定理214

三垂线定理的教学215

平面和平面平行218

两个平行平面的距离218

二面角219

平面和平面垂直219

多面角219

三面角220

直三面角220

多面体220

多面体的欧拉定理220

正多面体221

棱柱226

直棱柱226

斜棱柱226

正棱柱226

平行六面体226

长方体227

正方体227

棱锥227

正棱锥228

棱台228

正棱台229

拟柱体229

楔形229

旋转面229

旋转体230

圆柱230

圆锥230

圆台231

球231

球的大圆232

球的小圆232

球面距离232

球冠232

球带233

球缺233

球弓形233

球台233

球盘233

球扇形233

球心角体233

球的切面234

球面几何234

球面角234

球面多边形234

球面三角形234

球面三角形的角平分线234

球面二角形235

球面过剩235

长度235

面积236

体积238

容积238

有向直线238

有向线段238

定比分点239

坐标系239

平面直角坐标系239

平面斜角坐标系240

曲线的方程240

曲线和方程概念的教学241

直线的倾角243

斜率243

截距244

直线方程244

点斜式245

斜截式245

两点式245

截距式245

法线式245

参数式245

一般式245

直线系245

直线束246

圆方程246

圆的切线方程247

圆系248

椭圆248

双曲线249

抛物线250

渐近线251

法线251

圆锥曲线251

圆锥截线254

焦点254

准线254

圆锥曲线的弦254

焦点弦254

圆锥曲线的直径254

等边双曲线254

共轭双曲线254

通径255

焦半径255

焦参数255

圆锥曲线系255

圆锥曲线的光学性质257

圆锥曲线的教学257

坐标变换262

平面极坐标系263

极坐标的教学264

参数方程68

离心角269

参数方程的教学270

悬链线273

曳物线273

摆线273

次摆线274

内摆线275

外摆线276

内次摆线276

外次摆线277

螺线278

阿基米德螺线278

等速螺线278

圆的渐开线278

蔓叶线279

心脏线279

双纽线280

玫瑰线280

蚌线281

蜗线282

概念283

定义285

划分287

判断288

命题291

命题的四种形式291

等效命题292

分断式命题292

充分条件292

必要条件292

充分必要条件293

定理293

公理293

推理293

演绎推理293

直言三段论294

假言三段论294

选言推理295

归纳推理296

类比推理298

证明298

演绎证法与归纳证法299

分析法和综合法299

直接证法和间接证法299

反证法301

归谬法301

穷举法301

同一法301

数理逻辑301

真假值301

真值表301

命题联词301

否定302

蕴涵302

析取302

合取303

等价303

离散数学304

数论304

素数306

质数308

合数308

梅森数308

孪生素数308

不定方程308

同余309

中国剩余定理310

图论310

图310

简单图311

有向图311

无向图311

n阶完全图311

子图311

链312

圈312

连通图312

树313

哈密顿问题313

拉姆赛数314

四色定理315

组合论316

枚举法317

容斥原理317

富比尼原理318

递推关系319

母函数320

抽屉原则321

面积重迭原则323

平均数原则323

格点324

格点多边形324

凸图形324

函数方程324

概率与统计326

随机现象326

随机试验326

样本点326

样本空间326

随机事件326

必然事件327

不可能事件327

随机变量327

交事件327

并事件327

逆事件327

不相容事件327

互斥事件327

相容事件327

独立事件327

概率328

概率的加法定理329

概率的乘法定理330

条件概率330

全概率公式330

贝叶斯公式330

概率分布函数331

随机变量的分布函数331

二项分布331

正态分布331

母体332

个体332

样本332

样本的容量332

统计量332

样本均值332

样本方差332

样本k阶矩333

样本k阶中心矩333

频数分布表333

直方图333

中位数333

众数333

极差334

误差334

数学期望334

方差334

相关分析335

相关系数335

回归分析335

假设检验336

实用教育统计方法336

微 积分340

微积分学340

中学里微积分学的教学340

有限与无限341

极限341

极限的四则运算342

函数的连续性342

导数与微分343

导数的求法343

导数的几何意义344

微分中值定理344

原函数和不定积分344

定积分的概念345

微积分学基本定理345

积分学的应用346

行列式和矩阵348

n维向量和n维向量空间348

n维欧氏空间348

线性方程组349

高斯消去法349

线性方程组的行列式349

克来姆法则350

矩阵352

矩阵的运算353

矩阵的初等变换354

矩阵的秩354

线性变换355

平面上旋转变换的矩阵356

沿过原点直线作反射变换的矩阵357

几种特殊变换的矩阵358

二次型的矩阵358

矩阵的特征值和二次曲线的标准形359

行列式与矩阵的教学361

非线性数学简介362

混沌现象363

分维几何364

三 数学史、数学名题和数学家369

世界数学史369

古埃及数学369

巴比伦数学370

古希腊数学371

几何原本372

17世纪数学373

18世纪数学375

19世纪数学377

20世纪数学简述381

中国数学史385

中国古典数学385

20世纪中国数学简述389

中国古代算法391

今有术391

盈不足术393

更相减损术394

开方术395

方程术395

正负术397

勾股术397

重差术398

割圆术399

天元术400

四元术400

招差术400

大衍求一术401

垛积术402

出入相补原理403

中国古代算书404

九章算术404

算经十书406

数书九章408

测圆海镜408

四元玉鉴408

数理精蕴408

算法统宗408

中国古算题409

百鸡问题409

鸡免同笼问题409

方程问题409

物不知数问题409

盈不足问题410

五家共井问题410

测望海岛问题411

著名数学问题和定理412

三大作图问题412

希波克拉底定理412

黄金分割413

托勒密定理413

梅内劳斯定理414

帕普斯定理414

蜂房问题414

德沙格定理415

帕斯卡六边形定理416

施泰纳直尺作图问题416

马索若尼圆规问题417

多面体的欧拉定理417

欧拉线417

九点圆定理417

塞瓦定理418

斯图尔特定理418

七桥问题418

布罗卡尔点419

算术基本定理420

圆周17等分问题420

拿破仑定理420

西摩松线421

费马大定理421

比贝巴赫猜想421

科克曼女生问题422

黎曼猜想422

庞加莱猜想423

哥德巴赫猜想423

四色问题424

连续统假设424

中外数学家425

赵爽425

刘徽425

祖冲之425

祖暅426

王孝通426

李淳风426

一行426

贾宪427

李冶427

秦九韶427

杨辉428

郭守敬428

朱世杰428

程大位429

徐光启429

李之藻429

梅文鼎429

年希尧430

明安图430

项名达430

戴煦430

李善兰431

夏鸾翔431

华蘅芳432

姜立夫432

胡明复432

李俨432

钱宝琮433

陈建功433

熊庆来433

许宝騄434

闵嗣鹤434

关肇直434

华罗庚435

江泽涵435

苏步青436

陈省身436

吴文俊437

陈景润437

陆家羲438

丘成桐438

泰利斯438

毕达哥拉斯439

欧多克索斯439

欧几里得440

阿基米德440

埃拉托斯散441

阿波罗尼斯441

海仑441

托勒密441

梅内劳斯442

丢番图442

帕普斯442

希帕蒂娅442

阿耶婆多442

婆罗摩笈陀443

阿尔花拉子米443

巴塔尼443

奥玛尔·海雅姆444

婆什迎罗444

斐波那契444

纳速拉丁444

阿尔·卡西445

雷基奥蒙坦445

帕巧利445

斯蒂费尔445

塔塔里亚446

卡尔达诺446

斐拉里446

邦贝利446

韦达447

耐普尔447

布里格斯447

德沙格448

笛卡儿448

卡瓦列利448

费马449

罗伯瓦尔449

沃利斯450

帕斯卡450

惠更斯450

巴鲁451

格雷戈里451

关孝和451

牛顿452

莱布尼兹452

贝努利家族453

洛彼塔454

棣莫弗454

泰勒455

哥德巴赫455

克莱姆455

欧拉456

辛普森456

克莱罗456

达朗贝尔457

兰伯特457

华林458

拉格朗日458

蒙日459

拉普拉斯459

勒让德460

卡诺460

傅立叶461

高斯461

泊松462

丢班462

彭色列462

柯西462

罗巴切夫斯基463

施泰纳463

阿贝尔464

雅可比464

狄里克雷464

哈密顿465

刘维尔465

伽罗瓦465

外尔斯特拉斯466

黎曼466

戴德金466

李467

康托尔467

克莱因467

柯瓦列夫斯卡娅468

庞加莱468

希尔伯特468

嘉当469

罗素469

勒贝格469

诺特470

魏尔470

柯朗471

维纳471

冯·诺伊曼471

图灵472

波利亚472

弗赖登塔尔473

四 数学教育导论477

数学教育学的一般理论477

数学教育的现代发展477

数学教育的目标478

中小学数学课程和教材的演化479

中小学数学课程改革的国际研究482

数学教育研究的论文写作483

数学教育研究课题的国际分类484

大众数学486

问题解决487

非形式化488

民族数学488

数学教育心理研究489

1980年以来中国数学教学方法的改革490

中学生数学竞赛492

计算机与数学教育494

数学教育评价的国际进展495

IEA的国际数学教育调查497

我国小学和初中数学和科学教育成就国际比较508

美国中小学数学最新课程标准512

英国的《Cockcroft报告》514

数学素质教育516

建构主义理论517

在数学教学中应强化的几种观念519

国际数学教育委员会（ICMI）522

中国教育学会数学教学研究会525

全国高师数学教育研究会528

五 数学公式533

初等代数533

1.代数式533

（1）整式的乘法和因式分解公式533

（2）分式533

（3）比例的基本性质和主要变形536

（4）根式536

2.代数方程（组）537

（1）求解公式537

（2）关于方程的讨论538

（3）方程的根与系数的关系539

3.不等式539

（1）不等式的基本性质539

（2）含有绝对值的不等式的性质539

（3）常用基本不等式540

（4）一些代数不等式（组）的解540

4.指数和对数541

（1）幂的运算法则541

（2）对数542

5.数列542

（1）等差数列和等比数列542

（2）线性递归数列543

（3）一些高阶等差数列的求和公式543

6.排列、组合和二项式定理544

（1）加法原理和乘法原理544

（2）排列数和组合数的计算公式545

（3）组合数的主要公式545

（4）二项式定理546

7.复数546

（1）复数的运算546

（2）复数的模、共轭547

平面三角547

1.三角函数的基本公式547

（1）特殊角的三角函数值547

（2）三角函数的诱导公式（简化公式）548

（3）同角的三角函数的基本关系式548

2.和角公式及其推论550

（1）和角公式（加法定理）550

（2）倍角公式551

（3）半角公式551

（4）和差化积公式552

（5）积化和差公式553

（6）三角函数的乘幂公式553

（7）利用辅助角化代数和为三角积554

（8）三角函数值的常用近似计算公式554

3.反三角函数555

（1）反三角函数间的相互关系式555

（2）反三角函数的基本公式557

（3）反三角函数的和差558

（4）反三角函数的“二倍”与“一半”的公式59

（5）反三角函数的幂级数展开式559

4.三角方程和三角不等式560

（1）基本三角方程的通解560

（2）一般三角方程的解法561

（3）最简三角不等式的解集563

（4）几个基本的三角不等式563

5.解三角形564

（1）三角形基本元素间的关系564

（2）解三角形的基本问题的解法565

（3）三角形的角所满足的部分三角恒等式566

（4）三角形的角所满足的部分三角不等式567

平面几何567

1.三角形567

（1）三角形的边角关系计算568

（2）三角形的面积计算568

（3）其他元素的计算569

2.四边形570

（1）任意四边形的面积计算570

（2）特殊四边形的有关计算570

3.凸n边形571

（1）n边形的有关计算571

（2）正n边形的有关计算571

（3）一些特殊正n边形的有关计算572

4.圆574

立体几何575

1.棱柱、棱锥和棱台575

2.圆柱、圆锥和圆台575

平面解析几何576

1.坐标系576

（1）几种坐标系的转换576

（2）坐标变换576

2.点和直线577

（1）距离、斜率、定比分点577

（2）三点共线、质心577

（3）直线方程578

（4）点到直线的距离579

（5）直线和直线的位置关系579

3.二次曲线579

（1）圆和圆的切线的方程579

（2）椭圆、双曲线和抛物线的标准方程581

（3）二次曲线的分类、化简582

4.其他常见的平面曲线583

微 积分583

1.极限583

（1）极限的运算法则583

（2）常见的数列的极限583

（3）常见的函数的极限584

2.微分584

（1）求导（微）法则584

（2）常用求导（微）公式585

（3）高阶导数的通项公式587

（4）近似计算公式587

3.积分588

（1）不定积分运算法则588

（2）常用不定积分表588

（3）牛顿-莱布尼兹公式590