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第一章　变换群与几何学1

1　变换与变换群1

1.1　映射与变换1

1.2　映射的乘积与逆3

1.3　变换的不动元素与不动子集4

1.4　变换群5

习题1.15

2　仿射坐标和仿射平面6

2.1　仿射坐标和仿射坐标变换6

2.2　在仿射平面上的几个常用结论9

2.3 仿射平面A2的定义10

习题1.211

3　仿射变换11

3.1　透视仿射变换11

3.2　仿射变换的定义与基本性质13

3.3　仿射变换的表达式14

3.4　几种重要的仿射变换15

3.5　关于仿射变换的几个重要定理17

习题1.318

4　欧氏平面和保距变换19

4.1 欧氏平面E2的定义19

4.2　保距变换的定义和表达式20

4.3　保距变换的直观实现21

4.4　保距变换的性质22

习题1.423

5　几何学与变换群的关系23

5.1　欧氏几何与欧氏群23

5.2　克莱因观点介绍24

5.3　仿射群与仿射几何25

习题1.525

第二章　射影平面27

1　扩大仿射平面27

1.1 中心射影的直观讨论27

1.2　点的齐次仿射坐标29

1.3　直线的齐次仿射坐标方程30

习题2.132

2　射影平面33

2.1　射影平面和它的性质33

2.2　射影平面P2的定义和它的模型34

2.3　射影坐标和射影坐标变换36

2.4　直线与点列　一维射影坐标39

2.5　德萨格定理41

习题2.243

3　交比与调和共轭44

3.1　在扩大欧氏平面上的直观讨论44

3.2　交比的定义和计算45

3.3　交比与射影坐标的关系49

3.4　交比的分组50

3.5　调和共轭51

3.6　完全四点形的调和性质52

习题2.354

4　对偶原理55

4.1　点坐标与线坐标55

4.2　对偶原理57

4.3　几种重要的对偶图形和命题60

习题2.464

第三章　射影变换66

1　一维射影变换66

1.1　透视对应66

1.2　一维基本形之间的射影对应68

1.3　射影对应与透视的关系71

1.4　一维射影变换73

1.5　对合74

习题3.176

2　直射变换78

2.1　直射变换的定义和表达式78

2.2　射影群和基本射影性质80

2.3　关于直射的基本定理82

2.4　直射变换的不动元素85

2.5　同调与直移87

习题3.288

3　对射变换与配极89

3.1　对射变换89

3.2　配极变换90

3.3　共轭元素与配极原则91

3.4　配极的分类与自极三点形94

3.5　配极诱导的对合97

习题3.399

第四章　二次曲线的射影理论102

1　配极变换与二次曲线102

1.1　二阶曲线与二级曲线102

1.2　极点与极线　二次曲线104

1.3　二次曲线方程的简化形式107

习题4.1109

2　一维射影对应与二次曲线110

2.1 二次曲线的射影定义110

2.2　帕斯卡定理与布利安香定理115

习题4.2118

3　二次曲线的射影分类119

3.1　退化二阶曲线和奇异点119

3.2　二次曲线的射影分类121

习题4.3125

第五章　射影几何的子几何127

1　无穷远直线与仿射几何127

1.1　扩大仿射平面和仿射变换127

1.2　仿射性质128

1.3　二次曲线的仿射理论130

习题5.1138

2　圆环点与欧氏几何139

2.1　虚元素　复射影平面139

2.2　绝对对合与直角坐标140

2.3　保距变换与欧氏度量141

2.4　二次曲线的度量性质145

习题5.2149

3 实二次曲线与双曲几何150

3.1 自同构群与射影测度150

3.2　第五公设与罗巴切夫斯基几何的产生152

3.3　实二次曲线与双曲运动群153

3.4　双曲度量155

3.5　罗巴切夫斯基几何的克莱因模型158

习题5.3161

4　射影几何的其他子几何161

4.1　虚二次曲线和椭圆几何161

4.2　伽利略几何简介164

4.3　闵科夫斯基几何简介165

习题5.4165

第六章　计算机图形学的常用变换166

1 预备知识166

1.1 图形学中常用坐标系166

1.2　齐次坐标167

1.3　坐标变换169

习题6.1170

2　二维几何变换170

2.1　二维基本点变换170

2.2　变换的合成172

2.3　二维视见变换177

习题6.2179

3　三维几何变换180

3.1　射影空间的射影变换180

3.2　常用仿射变换180

3.3 保距变换181

3.4　变换的合成182

习题6.3188

4　投影变换188

4.1　平行投影189

4.2　透视变换和透视投影192

4.3　灭点195

4.4　通用透视投影及其灭点196

4.5　观察坐标系下的透视投影199

习题6.4202

第七章　高等几何与中学几何203

1 高等几何对中学几何的一般指导意义203

1.1　几何学的对象和分类203

1.2　对坐标系的认识204

1.3　关于直线形205

1.4　关于二次曲线理论205

1.5　综合法与解析法206

讨论题207

2　中学几何命题的发现208

2.1　从已知射影命题设计出初等命题208

2.2　变换已知命题，得出新命题210

习题7.2214

3　用高等几何方法证明中学几何题215

3.1　仿射变换的应用215

3.2　射影变换的应用217

3.3　关于点线结合命题的证明220

习题7.3220

4 直尺作图220

4.1　利用完全四点形的调和性质作图221

4.2　有关不可到达的点和直线的作图222

4.3　有关二次曲线的作图223

习题7.4225

5　射影几何的历史概述225

5.1　射影几何的萌芽时期225

5.2　射影几何创立初期225

5.3　射影几何的形成和繁荣时期226

5.4　计算机科学的发展赋予射影几何新的活力227

5.5　射影几何在中国228

习题答案与提示230

索引253

参考书目257