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目录1

第1章 极限与连续1

预备知识1

1.1 函数5

1.1.1 函数概念5

1.1.2 函数的运算7

1.1.3 函数的初等性质9

1.1.4 初等函数11

习题1.112

1.2 数列的极限13

1.2.1 引例（割圆术）13

1.2.2 数列极限的概念14

1.2.3 收敛数列的性质17

习题1.220

1.3 函数的极限20

1.3.1 函数极限的概念20

1.3.2 函数极限的性质24

习题1.324

1.4 无穷小与无穷大25

1.4.1 无穷小量25

1.4.2 无穷大量27

习题1.429

1.5 极限运算法则30

1.5.1 四则运算法则30

1.5.2 复合函数的极限运算法则32

1.6.1 两边夹准则33

1.6 极限存在准则——两个重要极限33

习题1.533

1.6.2 单调有界收敛准则36

习题1.639

1.7 无穷小的比较40

1.7.1 无穷小比较的定义40

1.7.2 重要的等价无穷小关系41

1.7.3 等价无穷小替代定理42

习题1.743

1.8 函数的连续性与间断点43

1.8.1 函数的连续性43

1.8.2 函数的间断点45

习题1.847

1.9.1 连续函数的运算48

1.9 连续函数的运算——闭区间上连续函数的性质48

1.9.2 初等函数的连续性49

1.9.3 闭区间上连续函数的性质51

习题1.953

1.10 本章小结53

1.10.1 基本要求53

1.10.2 内容提要54

1.10.3 学习指导55

1.11 总习题155

第2章 导数与微分57

2.1 导数的定义57

2.1.1 引例57

2.1.2 导数的定义58

2.1.3 求导举例59

2.1.4 导数的几何意义61

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系63

习题2.163

2.2 求导法则64

2.2.1 函数的和、差、积、商求导法则65

2.2.2 反函数的求导法则67

2.2.3 复合函数的求导法则68

2.2.4 常用函数导数表69

2.2.5 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数71

习题2.275

2.3 高阶导数及相关变化率76

2.3.1 高阶导数76

2.3.2 相关变化率80

习题2.381

2.4 微分82

2.4.1 微分的概念82

2.4.2 微分的运算法则及基本公式85

2.4.3 高阶微分86

习题2.487

2.5 本章小结88

2.5.1 基本要求88

2.5.2 内容提要88

2.6 总习题289

第3章 中值定理与导数应用92

3.1 中值定理92

3.1.1 费马（Fermat）引理92

3.1.2 罗尔（Rolle）定理93

3.1.3 拉格朗日（Lagrange）定理94

3.1.4 柯西（Cauchy）定理96

习题3.198

3.2 洛必达法则99

3.2.1 ？型极限99

3.2.2 ？型极限101

3.2.3 0·∞，∞—∞，00，∞0，1∞型极限101

习题3.2103

3.3 泰勒公式103

3.3.1 泰勒（Taylor）多项式104

3.3.2 泰勒（Taylor）定理105

3.3.3 基本初等函数的麦克劳林公式107

3.4 函数的单调性和极值109

习题3.3109

3.4.1 函数单调性的判定方法110

3.4.2 函数的极值111

3.4.3 函数的最值114

习题3.4116

3.5 函数图形的描绘117

3.5.1 曲线的凹凸性与拐点118

3.5.2 曲线的渐近线120

3.5.3 函数的作图121

习题3.5123

3.6 平面曲线的曲率124

3.6.1 弧微分124

3.6.2 曲率及其计算公式125

3.6.3 曲率圆和曲率半径126

习题3.6128

3.7 本章小结128

3.7.1 基本要求128

3.7.2 内容提要128

3.8 总习题3129

第4章 不定积分131

4.1 不定积分的概念与性质131

4.1.1 原函数的概念131

4.1.2 不定积分的概念132

4.1.3 基本积分表134

4.1.4 不定积分的基本运算法则134

4.2 换元积分法136

习题4.1136

4.2.1 第一类换元法（凑微分法）137

4.2.2 第二类换元法141

习题4.2144

4.3 分部积分法145

习题4.3148

4.4 有理函数和可化为有理函数的积分149

4.4.1 有理函数的积分149

4.4.2 可化为有理函数的积分153

习题4.4155

4.5 本章小结156

4.5.1 基本要求156

4.5.2 内容提要156

4.5.3 学习指导158

4.6 总习题4159

第5章 定积分及其应用161

5.1 定积分的概念161

5.1.1 引例161

5.1.2 定积分的概念163

5.1.3 定积分的几何意义166

习题5.1166

5.2 定积分的性质167

习题5.2171

5.3 微积分基本定理172

5.3.1 积分上限函数及其导数172

5.3.2 微积分的基本定理（牛顿-莱布尼兹公式）174

习题5.3176

5.4 定积分的换元积分法与分部积分法177

5.4.1 定积分换元积分法178

5.4.2 定积分的分部积分法182

习题5.4184

5.5 广义积分185

5.5.1 无穷区间上的广义积分185

5.5.2 无界函数的广义积分187

5.5.3 非负函数广义积分的判敛法则189

习题5.5191

5.6 定积分的几何应用191

5.6.1 微元法的基本思想191

5.6.2 平面图形的面积192

5.6.3 体积196

5.6.4 平面曲线的弧长198

习题5.6200

5.7.1 变力沿直线做功201

5.7 定积分的物理应用201

5.7.2 液体对薄板的侧压力203

5.7.3 引力203

习题5.7204

5.8 本章小结204

5.8.1 基本要求204

5.8.2 内容提要205

5.8.3 学习指导208

5.9 总习题5208

6.1 多元函数的概念211

6.1.1 平面点集的有关概念211

第6章 多元函数微分学及其应用211

6.1.2 多元函数的概念212

6.1.3 多元函数的极限214

6.1.4 多元函数的连续性215

习题6.1216

6.2 偏导数与全微分217

6.2.1 偏导数的概念217

6.2.2 偏导数的几何意义220

6.2.3 高阶偏导数220

6.2.4 全微分221

习题6.2224

6.3 多元复合函数求导法225

6.3.1 多元与一元的复合225

6.3.2 多元与多元的复合226

6.3.3 多元复合函数的高阶偏导数228

6.3.4 微分求导法——一阶微分的形式不变性229

习题6.3230

6.4 隐函数求导法231

6.4.1 一个方程的情形231

6.4.2 方程组的情形234

习题6.4236

6.5 多元函数微分学的几何应用237

6.5.1 空间曲线的切线与法平面237

6.5.2 曲面的切平面与法线238

习题6.5240

6.6 方向导数与梯度241

6.6.1 方向导数241

6.6.2 梯度243

6.7.1 多元函数的极值245

习题6.6245

6.7 多元函数的极值及其求法245

6.7.2 条件极值，Lagrange乘数法248

习题6.7250

6.8 本章小结251

6.8.1 基本要求251

6.8.2 内容提要251

6.9 总习题6253

6.10 本章附录254

6.10.1 最小二乘法254

6.10.2 二元函数的Taylor公式及定理6.7.2的证明255

6.10.3 定理6.7.2的证明256

参考文献259