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第0章 引论1

0.1 拓扑学是什么以及如何应用1

0.2 历史一瞥5

0.3 集合及其运算6

0.4 欧几里得空间9

0.5 关系11

0.6 函数13

第1章 拓扑空间16

1.1 开集与拓扑学的定义16

1.2 拓扑的基19

1.3 闭集26

1.4 拓扑学应用举例29

第2章 内部、闭包与边界37

2.1 集合的内部与闭包37

2.2 极限点40

2.3 集合的边界44

2.4 在地理信息系统中的一个应用46

第3章 构建新的拓扑空间51

3.1 子空间拓扑51

3.2 积拓扑54

3.3 商拓扑58

3.4 有关商空间的更多例子64

3.5 构形空间与相空间68

第4章 连续函数与同胚73

4.1 连续性73

4.2 同胚80

4.3 机器人学的正向运动学映射88

第5章 度量空间93

5.1 度量93

5.2 度量与信息98

5.3 度量空间的性质102

5.4 可度量化107

第6章 连通性111

6.1 建立连通性的第一种途径111

6.2 用连通性区分拓扑空间117

6.3 介值定理121

6.4 道路连通性126

6.5 自动导向装置130

第7章 紧致性134

7.1 开覆盖与紧致空间134

7.2 度量空间中的紧致性140

7.3 极值定理145

7.4 极限点紧致性150

7.5 单点紧化153

第8章 动力系统与混沌157

8.1 函数迭代157

8.2 稳定性163

8.3 混沌169

8.4 复杂动力系统的简单人口模型175

8.5 混沌蕴涵对初始条件的敏感依赖性180

第9章 同伦与度理论183

9.1 同伦183

9.2 圆函数、度与收缩186

9.3 在心脏搏动模型中的一个应用190

9.4 代数学基本定理193

9.5 再论拓扑空间的区分195

9.6 再论度198

第10章 不动点定理及其应用205

10.1 布劳威尔不动点定理205

10.2 在经济学中的一个应用208

10.3 卡库塔尼不动点定理214

10.4 博弈论与纳什均衡219

第11章 嵌入226

11.1 嵌入的一些结论226

11.2 若尔当曲线定理231

11.3 数字拓扑和数字图像处理236

第12章 纽结242

12.1 合痕和纽结243

12.2 赖德迈斯特运动与环绕数249

12.3 纽结多项式253

12.4 在生物化学与化学中的应用257

第13章 图论与拓扑学263

13.1 图263

13.2 化学图论268

13.3 图的嵌入272

13.4 交叉数与厚度278

第14章 流形与宇宙学284

14.1 流形285

14.2 欧拉示性数与紧致曲面的分类292

14.3 3维流形299

14.4 宇宙的几何结构307

14.5 宇宙是哪一种流形311

进一步阅读材料314

参考文献316