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第一章　行列式1

主要内容1

1．基本概念1

2．基本理论与方法2

（1）行列式的性质2

（2）克拉默（G.Cramer）法则3

疑难解析4

方法、技巧与典型例题分析5

1．选择题5

2．逆序数的计算8

3．行列式的计算方法与技巧9

（1）行列式计算的一题多解9

（2）有关范德蒙（Vandermonde）行列式的计算31

（3）与代数余子式有关的计算36

（4）有关行列式计算的综合例题38

4．克拉默法则的应用49

第二章　矩阵及其运算53

主要内容53

1．基本概念53

2．基本理论与方法54

（1）矩阵的运算及性质54

（2）矩阵的初等变换与初等方阵56

（3）可逆矩阵与正交矩阵57

（4）分块矩阵58

疑难解析61

方法、技巧与典型例题分析64

1．选择题64

2．矩阵的运算73

（1）矩阵的运算及性质73

（2）方阵的行列式87

（3）矩阵的应用94

3．逆矩阵的计算方法与技巧96

（1）逆矩阵的计算96

（2）用逆矩阵解矩阵方程102

（3）抽象矩阵的逆矩阵120

（4）有关正交矩阵的性质与逆矩阵128

（5）分块矩阵的逆矩阵129

第三章　线性方程组136

主要内容136

1．基本概念136

（1）矩阵的秩136

（2）向量组的线性相关性136

（3）线性方程组的向量表示、相容和基础解系138

（4）向量空间139

2．基本理论与方法141

（1）矩阵秩的性质与求法141

（2）向量组的线性相关性143

（3）线性方程组的解与基础解系145

（4）向量空间147

疑难解析148

方法、技巧与典型例题分析154

1．选择题154

（1）矩阵的秩的性质154

（2）向量组的线性表示与线性相关性159

（3）线性方程组的解与基础解系171

2．矩阵的秩180

3．向量组的线性相关性184

（1）线性表示与线性组合184

（2）线性相关性的判断198

（3）向量组与矩阵的秩210

4．线性方程组的解法、基础解系及其理论与应用218

（1）含参数的线性方程组的解法218

（2）线性方程组的基础解系246

（3）有关线性方程组理论的综合题254

（4）线性方程组的应用261

5．向量空间266

（1）向量空间的检验方法266

（2）向量空间的基、维数、坐标的求法267

（3）向量的内积与正交化方法272

第四章　矩阵的特征值、二次型277

主要内容277

1．基本概念277

（1）矩阵的特征值277

（2）矩阵的对角化278

（3）二次型278

（4）正定矩阵279

2．基本理论与方法280

（1）矩阵的特征值280

（2）矩阵的对角化281

（3）化二次型为标准形的方法283

（4）正定矩阵283

疑难解析285

方法、技巧与典型例题分析289

1．选择题289

2．矩阵的特征值297

（1）特征值与特征向量的求法297

（2）已知矩阵的特征值，计算（或证明）与矩阵有关的问题313

（3）哈密尔顿-凯莱定理的应用320

3．矩阵的对角化322

（1）相似矩阵的判别方法322

（2）方阵与对角矩阵相似的判别方法325

（3）可对角化矩阵的应用351

4．二次型373

（1）二次型的矩阵表示及其秩373

（2）化二次型为标准形379

5．正定矩阵398

（1）正定矩阵、正定二次型的判定398

（2）有关正定矩阵性质的问题406

第五章　线性变换412

主要内容412

1．基本概念412

（1）线性变换412

（2）过渡矩阵412

2．基本理论与方法414

（1）线性变换的性质414

（2）线性变换的运算414

（3）线性变换在一组基下矩阵的求法415

疑难解析416

方法、技巧与典型例题分析417

1．线性变换及其运算417

（1）线性变换的检验417

（2）有关线性变换性质的问题421

2．线性变换与矩阵422

（1）过渡矩阵的求法422

（2）线性变换在一组基下的矩阵的求法427

（3）线性变换的和、乘积及逆在某组基下矩阵的求法439