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第1章　概率论备要与随机数1

1.1　概率论备要1

1.1.1　概率公理系统1

1.1.2　随机变量2

1.1.3　随机向量2

1.1.4　基本极限定理3

1.1.5　常见的实函数，Borel集与Borel函数5

1.1.6　常见的概率分布6

1.2　随机数与随机模拟6

1.2.1　生成随机数的逆函数方法7

1.2.2　生成随机数的Von Neumann取舍原则11

1.2.3 对于取舍原则的再认识12

1.2.4　取舍原则的另一种表述12

1.3 Gauss系13

1.3.1　方差有限的随机变量全体组成的Hilbert空间13

1.3.2 作为d维正态分布的推广的d维Gauss分布14

1.3.3　Gauss系与Gauss过程15

习题117

第2章　条件分布与条件期望21

2.1　条件分布与全概率公式的推广21

2.1.1　条件分布21

2.1.2　全概率公式及其积分形式21

2.1.3　Bayes公式及其积分形式22

2.1.4　多维条件分布22

2.2　条件期望22

2.2.1　随机变量在另一个随机变量取定值时的数学期望22

2.2.2　随机变量对另一个随机变量的条件期望23

2.2.3　关于多维随机变量的条件期望26

2.2.4　方差有限的随机变量对一个随机变量列的条件期望28

2.2.5　期望有限的随机变量对随机变量族的条件期望28

2.2.6　关于事件体（σ代数）？的条件期望28

习题230

第3章　随机徘徊与鞅论浅述32

3.1　随机徘徊32

3.1.1　简单随机徘徊32

3.1.2　博弈输光模型33

3.2　鞅列浅述34

3.2.1　鞅列与常见的例子34

3.2.2　鞅列的停时与选样定理37

3.2.3　鞅列的选样定理的应用40

3.2.4　一般Doob停止定理的叙述43

3.2.5　下鞅列的Doob分解43

3.3　连续时间参数的鞅44

3.3.1 连续时间参数的随机事件的历史参照与连续时间参数的鞅44

3.3.2　连续时间鞅的选样定理45

3.3.3　平方可积鞅46

习题348

第4章　Brown运动与Markov过程50

4.1　Brown运动的数学模型50

4.2　Markov过程与Brown运动的Markov性53

4.3　Brown运动的有限维联合密度与基本性质55

4.4　Brown运动的首达时的分布密度57

4.4.1　首达时与Brown运动的反射原理57

4.4.2　Brown运动在时间区间［0,t］中达到的最大值的分布59

4.5　Brown运动的离散近似61

4.5.1　用对称随机徘徊近似61

4.5.2　Brown运动在击中b（b＜0）前，先击中a（a＞0）的概率61

4.6　Brown运动的变种62

4.6.1 漂移Brown运动62

4.6.2　几何Brown运动63

4.6.3　0点反射Brown运动65

4.6.4　积分Brown运动65

习题466

第5章 随机微积分，对Brown运动的Ito积分与Ito公式68

5.1　实值函数的Stieltjes积分68

5.1.1　对单调函数的Stieltjes积分68

5.1.2　对有界变差函数的Stieltjes积分69

5.2　对Brown运动的随机积分71

5.2.1　实值函数对Brown运动的积分72

5.2.2 随机函数（随机过程）对Brown运动的积分78

5.3　Ito公式——随机积分的换元公式与复合函数的随机微分公式88

5.3.1　特殊类型的Ito过程88

5.3.2　Ito积分中被积随机过程类的推广与一般的Ito过程90

5.3.3　多维Brown运动积分的Ito过程91

5.3.4　用鞅的语言来表达Ito公式——Stroock-Varadhan表示97

习题598

第6章　随机微分方程100

6.1　随机微分方程100

6.1.1　非随机系数的随机微分方程100

6.1.2　随机系数的随机微分方程的例子104

6.1.3　随机微分方程的解的存在唯一性107

6.2 通过两个常微分方程的解给出光滑系数的一维随机微分方程的解115

6.2.1　Ito公式的简单推广115

6.2.2　通过两个常微分方程的解求解Stratonovich随机微分方程115

6.3　化简一维随机微分方程的变换方法119

6.3.1　可以用变换转化的决定性函数系数的随机微分方程的例子119

6.3.2　可以用变换转化的决定性函数系数的随机微分方程的条件121

6.3.3 求解Ito方程的另一种途径——将方程中Brown运动的系数化为1124

6.4　随机微分方程解的矩与对参数的依赖125

6.5 Kalman-Bucy滤波126

6.5.1　Gauss过程的投影——线性滤波126

6.5.2 Kalman-Bucy滤波模型与滤波过程（用新息过程表示，滤波的均方误差），滤波的随机微分方程127

6.5.3　关于离散时间的Kalman-Bucy滤波的附注134

6.6　随机微分方程的弱解的概念137

习题6138

第7章　扩散过程与其性质140

7.1　随机微分方程解的Markov性质140

7.2　扩散方程与Fokker-Plank方程145

7.2.1　转移密度的Kolmogorov向前方程与向后方程145

7.2.2 转移密度的Kolmogorov向前方程与向后方程的直观推导146

7.2.3 系数含时间t时的Kolmogorov向前方程与向后方程（非时齐形式）149

7.3　多维扩散过程151

7.3.1　多维扩散方程151

7.3.2　非退化时齐扩散过程的两歧性和不变密度152

7.4　扩散过程的遍历定理154

7.5　多维扩散过程的首达时与首达地点的分布155

7.5.1　多维扩散过程的首达时与吸收过程155

7.5.2 多维扩散过程的首达地点分布与Dirichlet边值问题158

7.6 Girsanov定理与Feyman-Kac公式158

7.6.1　Brown的随机平移——Girsanov变换159

7.6.2　Feyman-Kac公式159

7.7　扩散过程的最佳停止161

习题7163

第8章 随机微分方程的解的数值模拟算法165

8.1　随机微分方程轨道的采样近似165

8.2 随机微分方程在固定时刻附近的随机Taylor展开与解的差分近似166

8.2.1　半阶差分近似模型（Euler-Maruyama近似）167

8.2.2　一阶差分近似模型（Milstein近似）168

8.3 Ito方法的解ξt的光滑函数f（ξt）在时刻t附近的随机Taylor展开168

8.4　差分近似模型的另一种改进途径——一阶随机Runge-Kutta模型169

第9章　随机微分方程在金融模型中的应用170

9.1　金融术语与基本假定170

9.2　Black-Scholes模型及其欧式未定权益的定价172

9.2.1　Black-Scholes模型172

9.2.2　Black-Scholes模型的欧式未定权益的定价的套期方法，Black-Scholes微分方程的推导与求解172

9.2.3　风险中性概率方法175

9.2.4　币值单位与随机折现因子方法177

9.2.5　时变的Black-Scholes模型179

9.3　二叉模型与Black-Scholes模型的二叉近似179

9.3.1　二叉模型（中性概率存在的条件，欧式权益的定价）179

9.3.2　Black-Scholes模型的二叉模型近似182

9.3.3 二叉模型的美式未定权益概要（美式权益｛f(Sn),n≤N｝的定价，套期与消费过程）183

9.4　随机利率与债券利率的期限结构188

9.4.1　s-零息债券188

9.4.2　零息债券导出的各种随机利率概念189

9.4.3　资产定价基本定理与利率衍生证券190

9.4.4　利率的风险中性模型（远期利率的HJM模型，短期利率模型）191

9.5 基于证券的随机利率的债券为币值单位折现的证券的未定权益的定价195

习题9196

第10章　Poisson随机分析大意197

10.1　Poisson过程，非时齐的Poisson过程与复合Poisson过程的复习197

10.1.1　Poisson过程197

10.1.2　非时齐的Poisson过程198

10.1.3 复合Poisson过程与非时齐的复合Poisson过程200

10.2 对非时齐的Poisson过程的随机积分与对Poisson点过程的随机积分200

10.2.1　对非时齐的Poisson过程Nt的随机积分200

10.2.2 与非时齐的复合Poisson过程相系的Poisson点过程（用时间、空间积分表示）202

10.2.3　将非时齐复合Poisson过程表为时空Poisson点过程的积分（用时间、空间积分表示）204

10.3　对时空Poisson点过程μ（t,v）的随机积分205

10.3.1 对时空Poisson点过程μ（t,v）的随机积分的必要性205

10.3.2 对时空Poisson点过程μ（t,v）的随机积分的含义206

10.4 以Poisson过程或时空Poisson点过程驱动的随机微分方程与Poisson随机微积分的复合函数的Ito公式207

10.4.1 以时空Poisson过程驱动的随机微分方程207

10.4.2　一般的随机微分方程的解的Ito公式208

10.5　常见的条件Poisson过程209

10.5.1 自激点过程（条件强度过程，绝对概率，事件到达时间联合分布，样本分布）209

10.5.2　带有随机调制的Poisson过程（二重Poisson过程）212

10.5.3　滤波Poisson过程213

10.6　特征泛函214

10.6.1　Poisson过程的特征泛函214

10.6.2　非时齐的Poisson过程的特征泛函215

10.6.3 非时齐的复合Poisson过程的特征泛函215

10.7 随机地模拟Poisson过程和非时齐的Poisson过程的方法217

10.7.1　模拟Poisson过程的方法217

10.7.2　模拟非时齐的Poisson过程217

习题10218

名词索引220

参考文献224