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第7章 多元函数微分学1

7.1 多元函数的概念1

7.1.1 平面点集1

7.1.2 多元函数的概念3

7.1.3 多元函数的极限5

7.1.4 多元函数的连续性7

7.2 偏导数9

7.2.1 偏导数的概念9

7.2.2 高阶偏导数13

7.3 全微分15

7.4 多元复合函数微分法20

7.4.1 多元复合函数微分法20

7.4.2 全微分形式不变性24

7.4.3 多元复合函数的高阶偏导数25

7.5 隐函数微分法28

7.5.1 一个方程所确定的隐函数的微分法28

7.5.2 方程组所确定的隐函数的微分法30

7.6 方向导数与梯度34

7.6.1 方向导数34

7.6.2 梯度36

7.7 多元函数微分学的几何应用38

7.7.1 空间曲线的切线与法平面38

7.7.2 曲面的切平面与法线40

7.8 多元函数的极值44

7.8.1 多元函数的极值及其求法44

7.8.2 多元函数的最大值和最小值46

7.8.3 条件极值——拉格朗日乘数法48

7.9 二元函数的泰勒（Taylor）公式52

7.9.1 二元函数的泰勒公式52

7.9.2 二元函数极值充分条件的证明55

7.10 应用57

7.11 数学实验：多元函数微分法61

8.1 二重积分的概念与性质67

8.1.1 二重积分的概念67

第8章 重积分67

8.1.2 二重积分的性质69

8.2 二重积分的计算70

8.2.1 直角坐标系下二重积分的计算70

8.2.2 极坐标系下二重积分的计算74

8.2.3 二重积分的一般变量代换76

8.3 三重积分的概念与性质79

8.3.1 三重积分的概念79

8.3.2 三重积分的性质80

8.4 三重积分的计算81

8.4.1 直角坐标系下三重积分的计算81

8.4.2 柱坐标系下三重积分的计算83

8.4.3 球坐标系下三重积分的计算85

8.5 应用88

8.5.1 曲面的面积88

8.5.2 物体的重心89

8.5.3 物体的转动惯量91

8.5.4 物体的引力92

8.6 含参变量积分94

8.7 数学实验：重积分99

第9章 曲线积分与曲面积分105

9.1 第一类曲线积分105

9.1.1 第一类曲线积分的概念及性质105

9.1.2 第一类曲线积分的计算106

9.2.1 向量场的概念110

9.2.2 第二类曲线积分的概念及性质110

9.2 第二类曲线积分110

9.2.3 第二类曲线积分的计算法113

9.2.4 第一、二类曲线积分之间的联系116

9.3 格林（Green）公式118

9.3.1 格林公式定理118

9.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件124

9.4 第一类曲面积分130

9.4.1 第一类曲面积分的概念及性质130

9.4.2 第一类曲面积分的计算法131

9.5.1 有向曲面134

9.5 第二类曲面积分134

9.5.2 第二类曲面积分的概念及性质135

9.5.3 第二类曲面积分的计算法138

9.6 高斯（Gauss）公式曲面积分与曲面无关的条件141

9.6.1 高斯公式141

9.6.2 曲面积分与曲面无关的条件144

9.7 斯托克斯（Stokes）公式空间曲线积分与路径无关的条件146

9.7.1 斯托克斯公式146

9.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件148

9.8 场论初步150

9.8.1 等值面与梯度150

9.8.2 向量场的散度151

9.8.3 向量场的旋度152

9.8.4 哈米尔顿（Hamilton）算子155

9.8.5 几个特殊的向量场155

9.9 数学实验：曲线积分和曲面积分162

10.1.1 级数的基本概念169

10.1 数项级数169

第10章 级数169

10.1.2 级数的基本性质170

10.1.3 柯西（Cauchy）收敛准则172

10.1.4 正项级数敛散性的判别法173

10.1.5 任意项级数敛散性的判别法178

10.2 幂级数183

10.2.1 函数项级数的概念183

10.2.2 幂级数及其收敛域184

10.2.3 幂级数的运算性质188

10.2.4 求幂级数的和函数190

10.3 函数的幂级数展开192

10.3.1 泰勒级数192

10.3.2 函数展开成幂级数194

10.3.3 欧拉（Euler）公式198

10.4 函数项级数的一致收敛性和一致收敛级数的基本性质200

10.4.1 函数项级数的一致收敛性201

10.4.2 一致收敛级数的基本性质203

10.5 傅里叶（Fourier）级数205

10.5.1 三角函数系的正交性205

10.5.2 函数展开成傅里叶级数206

10.5.3 正弦级数与余弦级数210

10.5.4 以2l为周期的周期函数的傅里叶级数211

10.6 数学实验：无穷级数215

第11章 微分方程221

11.1 微分方程的基本概念221

11.1.1 两个实例221

11.1.2 微分方程的定义222

11.2 一阶微分方程224

11.2.1 可分离变量的方程224

11.2.2 齐次方程225

11.2.3 一阶线性方程228

11.2.4 伯努利（Bernoulli）方程230

11.2.5 全微分方程231

11.3 一阶微分方程的应用235

11.4 可降阶的高阶微分方程242

11.4.1 y（n）=f（x）型242

11.4.2 y″=f（x,y′）型243

11.4.3 y″=f（y,y′）型245

11.5 线性微分方程解的结构248

11.5.1 线性齐次微分方程解的结构249

11.5.2 非齐次线性微分方程解的结构250

11.6.1 常系数线性齐次微分方程的解法251

11.6 常系数线性微分方程251

11.6.2 常系数非齐次微分方程解法254

11.6.3 常系数线性微分方程应用259

11.6.4 欧拉方程263

11.7 二阶变系数线性微分方程266

11.7.1 二阶变系数线性齐次微分方程266

11.7.2 二阶变系数线性非齐次微分方程268

11.8 数学实验：常微分方程271

习题参考答案278