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第1章 复数与复变函数1

1.1复数运算及几何表示1

1.1.1复数概念及四则运算1

1.1.2复数的几何表示3

1.1.3共轭复数6

1.1.4乘除、乘方与开方8

1.1.5复球面与无穷远点13

1.2复平面上的点集14

1.2.1基本概念14

1.2.2区域和曲线14

1.3复变函数17

1.3.1定义与几何意义17

1.3.2极限与连续性20

第1章小结23

习题125

第2章 解析函数28

2.1解析函数的概念28

2.1.1复变函数的导数28

2.1.2复变函数解析的概念31

2.2函数解析的充要条件32

2.3解析函数与调和函数36

2.4初等函数43

2.4.1指数函数43

2.4.2三角函数与双曲函数46

2.4.3对数函数49

2.4.4幂函数51

2.4.5反三角函数与反双曲函数53

2.5解析函数的物理意义54

2.5.1用复变函数刻画平面向量场54

2.5.2 平面流速场的复势55

2.5.3静电场的复势57

2.5.4平面稳定温度场59

第2章小结60

习题264

第3章 复变函数的积分67

3.1复变函数积分的概念67

3.1.1积分的定义67

3.1.2积分的性质68

3.1.3 积分的存在条件与计算69

3.2柯西积分定理73

3.2.1柯西积分定理73

3.2.2不定积分74

3.2.3复合闭路定理77

3.3柯西积分公式79

3.3.1柯西积分公式79

3.3.2高阶导数公式84

3.3.3几个重要的推论87

第3章小结90

习题393

第4章 级数96

4.1复变函数项级数96

4.1.1复数序列96

4.1.2复数项级数97

4.1.3复变函数项级数101

4.2幂级数105

4.2.1幂级数的概念105

4.2.2幂级数的收敛圆与收敛半径106

4.2.3幂级数的性质110

4.2.4幂级数的运算112

4.3泰勒级数116

4.3.1泰勒（Taylor）展开定理116

4.3.2几个初等函数的幂级数展开式118

4.4洛朗级数122

4.4.1洛朗级数的概念及性质123

4.4.2洛朗展开定理124

4.4.3 求解析函数的洛朗展开式的一些方法127

第4章小结130

习题4134

第5章 留数136

5.1孤立奇点136

5.1.1解析函数的孤立奇点及分类136

5.1.2解析函数在有限孤立奇点的性质138

5.1.3解析函数的零点与极点的关系140

5.1.4 解析函数在无穷孤立奇点的性质142

5.2留数144

5.2.1留数的定义及其计算规则144

5.2.2留数的基本定理148

5.3留数在定积分计算中的应用153

5.3.1形如R∫2O R（sin θ， cos θ）dθ积分153

5.3.2形如R∫+∞ -∞ R（x）dx的积分155

5.3.3形如R∫+∞ -∞ R（x）eiaxdx（a＞0）的积分157

5.4辐角原理与儒歇定理162

5.4.1对数留数162

5.4.2辐角原理165

5.4.3儒歇定理166

第5章小结169

习题5173

第6章 保形映射176

6.1保形映射的概念176

6.2分式线性映射179

6.3分式线性映射的性质185

6.4两个重要的分式线性映射190

6.4.1将上半平面Imz＞0映射成单位圆盘|w|〈1的分式线性映射190

6.4.2将单位圆盘|z|〈1映射为单位圆盘|w|〈1的分式线性映射192

6.5几个初等函数所构成的映射194

6.5.1幂函数w=zn(n=2，3，…）194

6.5.2指数函数w=ez199

6.5.3儒可夫斯基函数202

第6章小结205

习题6207

第7章 傅里叶变换210

7.1傅里叶积分与傅里叶积分定理211

7.2傅里叶变换与傅里叶逆变换217

7.3单位脉冲函数222

7.3.1单位脉冲函数的概念222

7.3.2 δ函数的性质226

7.4广义傅里叶变换229

7.5傅里叶变换的性质232

7.6卷积241

7.6.1卷积的概念241

7.6.2卷积的性质245

7.6.3卷积在傅氏变换中的应用249

7.7相关函数251

7.7.1互相关函数251

7.7.2 自相关函数255

7.8傅里叶变换的应用258

7.8.1非周期函数的频谱258

7.8.2傅氏变换在求解方程中的应用举例261

7.9多维傅里叶变换262

7.9.1多维傅氏变换的概念263

7.9.2 多维傅氏变换的性质265

第7章小结267

习题7271

第8章 拉普拉斯变换275

8.1拉普拉斯变换的概念275

8.1.1拉氏变换的定义275

8.1.2拉氏变换的存在定理277

8.2拉普拉斯变换的性质（一）285

8.3拉普拉斯变换的性质（二）294

8.3.1初值和终值定理294

8.3.2卷积定理297

8.4拉普拉斯逆变换301

8.5拉普拉斯变换在解方程中的应用307

第8章小结312

习题8315

参考文献319

习题答案320

附录332

附录Ⅰ傅氏变换简表332

附录Ⅱ拉氏变换简表338