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第1章 数学物理方程的定解问题1

1.1 数学物理方程的一般概念1

1.1.1 一些基本概念1

1.1.2 三类基本方程2

1.1.3 简单方程的一些解法2

1.2 数学物理方程的导出3

1.2.1 三类方程的导出3

1.2.2 三类方程与定解条件的特点5

1.2.3 地球物理学中的三类方程6

1.3 数学物理方程的定解问题7

1.3.1 定解问题7

1.3.2 初值问题7

1.3.3 边值问题8

1.3.4 混合问题9

1.4 定解问题的适定性与广义解10

1.4.1 定解问题的广义解10

1.4.2 三类方程的适定性讨论11

1.4.3 叠加原理（独立作用原理）11

1.4.4 齐次化原理（冲量原理）12

【阅读材料】曲线坐标系15

习题116

第2章 微分方程的固有值问题18

2.1 微分方程初值问题的求解方法18

2.1.1 齐次常微分方程的常用解法18

2.1.2 非齐次常微分方程的常用解法19

2.1.3 去掉一阶项的方法21

2.1.4 初值问题的约束条件法21

2.1.5 初值问题的积分变换法22

2.1.6 初值问题的基本解方法（冲量原理法）22

2.1.7 初值问题的格林函数法23

2.2 微分方程边值问题的幂级数解法23

2.2.1 微分方程的幂级数解法23

2.2.2 贝塞尔方程的幂级数解法24

2.3 二阶微分方程的固有值问题25

2.3.1 固有值问题25

2.3.2 S-L方程的固有值问题25

2.3.3 S-L方程的边界条件的讨论26

2.3.4 S-L方程的固有值与固有函数27

2.3.5 固有值问题的例题28

2.4 正交函数与正交多项式29

2.4.1 正交函数与正交多项式的概念29

2.4.2 正交多项式的部分性质30

2.4.3 正交多项式的构造30

2.4.4 几种常见的正交多项式30

【阅读材料】一些常见的特殊函数32

习题233

第3章 波动问题的行波法34

3.1 二阶线性方程的分类与化简34

3.1.1 两个自变量方程的分类与化简34

3.1.2 多个自变量方程的分类与化简36

3.2 一维柯西问题的行波法36

3.3 半无界波动问题的行波法40

3.4 高维波动问题的行波法43

3.4.1 三维波动方程的泊松公式43

3.4.2 二维波动方程的行波法46

3.5 非齐次波动问题的基尔霍夫公式47

习题349

第4章 直角坐标下的分离变量法50

4.1 基本定解问题的分离变量法50

4.1.1 弦振动方程的分离变量法50

4.1.2 热传导方程的分离变量法52

4.2 平面问题的分离变量法54

4.2.1 二维发展问题的分离变量法54

4.2.2 二维调和方程的分离变量法55

4.3 非齐次方程的分离变量法57

4.3.1 固有函数法57

4.3.2 齐次化方法（冲量原理法）59

4.3.3 特解方法60

4.4 非齐次边界条件的齐次化方法62

4.4.1 取插值函数的齐次化方法62

4.4.2 顾及方程的齐次化方法63

4.4.3 “双”齐次化方法65

4.5 一般定解问题的分离变量法67

4.5.1 一维定解问题的分离变量法67

4.5.2 多维问题对时间的分离方法69

4.5.3 直角坐标下高维分离变量法69

【阅读材料】无界问题的分离变量法70

习题471

第5章 柱坐标下的分离变量法（柱函数）73

5.1 极坐标下的分离变量法73

5.1.1 二维调和方程的分离变量法73

5.1.2 二维圆形域内发展方程的分离变量法74

5.2 柱坐标下的分离变量法75

5.2.1 柱坐标下△u=0的分离变量法75

5.2.2 柱坐标下的Δu＋λu=0分离变量77

5.2.3 柱坐标下的△u＋λu=0分离变量（λ为常数）77

5.3 贝塞尔函数78

5.3.1 贝塞尔函数的定义78

5.3.2 贝塞尔函数的（部分）基本性质78

5.3.3 贝塞尔函数的递推公式79

5.3.4 母函数公式80

5.4 贝塞尔函数的固有性质82

5.4.1 加法公式82

5.4.2 平面波的展开公式82

5.4.3 与积分相关的公式83

5.4.4 贝塞尔函数的固有性质84

5.5 其他贝塞尔函数85

5.5.1 第二类贝塞尔函数85

5.5.2 第三类贝塞尔函数86

5.5.3 虚宗量的贝塞尔函数86

5.5.4 半奇贝塞尔函数87

5.5.5 球贝塞尔函数87

5.5.6 变形贝塞尔函数89

5.6 柱函数在定解问题中的应用91

习题595

第6章 球坐标下的分离变量法（球函数）97

6.1 球坐标下的分离变量法97

6.1.1 球坐标下△u=0的分离变量法97

6.1.2 球坐标下的△u＋λu=0分离变量98

6.2 勒让德函数99

6.2.1 勒让德函数的表示方法99

6.2.2 勒让德函数的简单性质100

6.2.3 第二类勒让德函数100

6.2.4 母函数公式101

6.2.5 递推公式102

6.3 勒让德函数的固有性质103

6.3.1 勒让德方程的固有值问题103

6.3.2 正交性质104

6.3.3 展开性质105

6.4 球函数106

6.4.1 连带勒让德函数106

6.4.2 连带勒让德函数的性质107

6.4.3 连带勒让德函数的固有性质107

6.4.4 球函数的表示方法108

6.4.5 球函数的固有性质108

6.4.6 一般函数的球谐展开109

6.4.7 加法公式110

6.5 球函数在边值问题中的应用111

6.5.1 球函数与边值勤问题的解111

6.5.2 求解边值问题的例题111

【阅读材料】高维定解问题分离变量法的综合（＋时间）118

习题6119

第7章 无界问题的积分变换法121

7.1 无界问题的傅里叶积分变换法121

7.1.1 傅里叶变换及其性质121

7.1.2 传导方程的求解122

7.1.3 波动方程的求解124

7.1.4 调和方程的求解125

7.2 半无界问题的拉普拉斯积分变换法125

7.2.1 拉普拉斯变换及其性质125

7.2.2 柯西问题的拉普拉斯变换法126

7.2.3 半无界问题的拉普拉斯变换法127

7.3 其他积分变换法128

7.3.1 傅里叶正（余）弦变换法128

7.3.2 调和方程的积分变换法129

7.3.3 其他积分变换的方法130

7.3.4 用积分变换求解定解问题中的一些技巧132

7.3.5 广义积分变换法133

【阅读材料】常用积分变换及其部分性质134

【阅读材料】卷积及其性质135

习题7136

第8章 发展问题的基本解方法138

8.1 基本解的概念138

8.1.1 从冲量原理谈起138

8.1.2 基本解的概念138

8.2 微分方程的基本解方法139

8.2.1 微分方程基本解的概念139

8.2.2 微分方程基本解的常用求法140

8.2.3 几类方程的基本解140

8.2.4 微分方程的基本解法142

8.3 初值问题的基本解方法143

8.3.1 传导型初值问题的基本解的求法143

8.3.2 传导型初值问题的基本解方法143

8.3.3 波动型初值问题的基本解的求法145

8.3.4 波动型初值问题基本解方法146

8.4 混合问题的基本解方法148

8.4.1 传导型混合问题的基本解方法148

8.4.2 波动型混合问题的基本解方法149

8.4.3 混合问题基本解方法的例题150

习题8152

第9章 格林函数法153

9.1 格林函数的概念153

9.1.1 格林函数的概念153

9.1.2 格林函数与基本解的比较153

9.1.3 格林公式155

9.2 柯西问题的格林函数法155

9.2.1 传导型柯西问题的格林函数方法155

9.2.2 波动方程柯西问题的格林函数方法157

9.3 混合问题的格林函数法158

9.3.1 混合问题格林函数的概念158

9.3.2 有界传导问题的格林函数方法159

9.3.3 有界波动问题的格林函数方法160

9.3.4 混合问题的格林函数法的例题161

9.4 边值问题的格林函数法163

9.4.1 边值问题格林函数概念的再讨论163

9.4.2 边值问题格林函数与边值问题的解164

9.5 格林函数的求解方法166

9.5.1 求解边值问题格林函数的镜像原理方法166

9.5.2 求解边值问题格林函数分离变量方法168

9.6 第一边值问题的格林函数解法169

9.7 第二、第三球边值问题的求解方法171

9.7.1 有用的公式171

9.7.2 内部边值问题的解172

9.7.3 外部边值问题的解173

习题9177

参考文献179

附录 数学物理方程求解方法讨论180

附录A 三类定解问题及其解的比较180

附录B 微分方程的直接积分方法讨论183

后记189