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第1章 数学理论基础1

1.1 多面体1

1.1.1 多面体的定义及概述1

1.1.2 多面体与分子结构5

1.1.3 多面体的数学理论6

1.1.4 多面体的操作10

1.2 纽结理论11

1.2.1 纽结理论概述11

1.2.2 辫子和Seifert表示14

1.2.3 纽结不变量14

1.2.4 纽结理论与化学15

1.3 Seifert构造15

参考文献18

第2章 实验背景22

2.1 DNA纳米技术概述22

2.2 DNA多面体的化学合成进展24

2.3 病毒多面体40

2.4 多面体研究的目的和意义41

参考文献42

第3章 扩展的柏拉图多面体及其在化学中的应用47

3.1 引言47

3.2 Goldberg构造方法48

3.3 扩展的十二面体49

3.3.1 扩展的十二面体的性质49

3.3.2 扩展的十二面体的生成规律51

3.3.3 扩展的十二面体的应用52

3.4 扩展的四面体54

3.4.1 扩展的四面体的性质54

3.4.2 扩展的四面体的生成规律54

3.4.3 扩展的四面体的应用55

3.5 扩展的六面体56

3.5.1 扩展的六面体的性质56

3.5.2 扩展的六面体的生成规律57

3.5.3 扩展的六面体的应用57

3.6 扩展的八面体59

3.6.1 扩展的八面体的性质59

3.6.2 扩展的八面体的生成规律59

3.6.3 扩展的八面体的应用61

3.7 扩展的二十面体63

参考文献63

第4章 DNA多面体分子结构的数学分析66

4.1 DNA多面体链环的研究进展67

4.1.1 柏拉图多面体链环67

4.1.2 截角柏拉图多面体链环和阿基米德多面体链环及其手性71

4.2 DNA多面体的欧拉公式73

4.2.1 多面体结构的几何规则73

4.2.2 DNA多面体的欧拉公式的推导74

参考文献79

第5章 扩展的柏拉图多面体链环82

5.1 引言82

5.2 扩展的四面体链环83

5.2.1 三分支型84

5.2.2 顶点扩展型86

5.2.3 三交叉型87

5.2.4 星状型89

5.3 扩展的八面体链环90

5.3.1 四分支型90

5.3.2 顶点扩展型92

5.3.3 四交叉型93

5.3.4 星状型94

参考文献96

第6章 扩展的Goldberg多面体99

6.1 引言99

6.2 旋转扩展Goldberg多面体100

6.3 拉伸扩展Goldberg多面体102

6.4 稳定性和对称性104

参考文献105

第7章 偶数次缠绕的Goldberg多面体链环107

7.1 引言107

7.2 构筑方法108

7.3 第一类多面体链环109

7.4 第二类多面体链环112

7.5 链环的拓扑变换113

参考文献115

第8章 奇数次缠绕的Goldberg多面体链环119

8.1 引言119

8.2 奇数次缠绕120

8.3 分支算法121

8.4 多面体链环122

8.4.1 扩展的Goldberg多面体122

8.4.2 （3，4）-扩展多面体链环123

8.4.3 （3，0）-扩展多面体链环125

参考文献127

第9章 Goldberg多面体的拓扑变换131

9.1 引言131

9.2 Leapfrog富勒烯和（3，8）-富勒烯132

9.2.1 基本操作132

9.2.2 球面旋转-顶点分叉133

9.2.3 球面拉伸-顶点分叉135

9.3 富勒烯多面体链环138

9.3.1 纽结算法138

9.3.2 一些化学应用139

参考文献141

第10章 扩展柏拉图多面体链环的表征和描述145

10.1 引言145

10.2 定义146

10.3 计算式146

10.3.1 一般多面体链环和DNA多面体链环的联系与区别146

10.3.2 链环三要素的计算式147

10.4 扩展的柏拉图多面体链环的表征147

10.4.1 一种扩展的四面体链环[34 64]148

10.4.2 一种扩展的六面体链环[46 68]149

10.4.3 一种扩展的八面体链环[38 46]151

10.4.4 一种扩展的十二面体链环[512 620]152

10.5 欧拉公式的扩展154

参考文献154

第11章 总结与展望156