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第7章 不定积分1

7.1 不定积分的概念1

7.1.1 原函数1

7.1.2 不定积分的定义2

7.1.3 不定积分的性质3

7.1.4 不定积分基本公式3

7.2 不定积分的计算7

7.2.1 第一换元积分法（凑微分法）8

7.2.2 第二换元积分法12

7.2.3 分部积分法15

7.3 不定积分方法探究17

7.3.1 凑微分法17

7.3.2 倒代换法19

7.3.3 循环积分19

7.3.4 分部积分递推式20

7.3.5 分部积分竖式算法21

7.3.6 分段函数的不定积分25

7.4 有理函数的不定积分26

7.5 几种无理函数的不定积分31

7.5.1 情形Ⅰ？31

7.5.2 情形Ⅱ？32

7.5.3 情形Ⅲ？33

7.6 三角有理函数的不定积分35

7.6.1 情形Ⅰ ∫R（sinx,cosx）dx35

7.6.2 情形Ⅱ ∫sinnxcosmxdx38

7.6.3 情形Ⅲ ∫sinmx cosnx dx39

7.6.4 情形Ⅳ ∫asinx+bcosx/c sinx+dcosxdx39

习题741

第8章 定积分及其应用48

8.1 定积分的概念48

8.1.1 问题的提出48

8.1.2 定积分的定义50

8.1.3 定积分的几何意义51

8.2 定积分的性质52

8.3 微积分基本定理55

8.3.1 积分上限函数55

8.3.2 微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）56

8.4 定积分的计算58

8.4.1 定积分的换元积分法58

8.4.2 定积分的分部积分法60

8.5 广义微元法62

8.5.1 微元法62

8.5.2 定积分定义63

8.5.3 定积分定义的拓展64

8.5.4 定积分性质68

8.5.5 利用定积分定义求极限68

8.6 广义积分70

8.6.1 无穷积分70

8.6.2 瑕积分72

8.7 定积分方法拓展73

8.8 定积分应用80

8.8.1 定积分的几何应用80

8.6.2 定积分的物理应用87

8.6.3 定积分的经济学应用88

习题889

第9章 重积分96

9.1 重积分的概念96

9.1.1 二重积分的相关概念96

9.1.2 三重积分的相关概念98

9.1.3 重积分的性质99

9.2 二重积分的计算101

9.2.1 直角坐标系下二重积分的计算101

9.2.2 极坐标系下二重积分的计算104

9.2.3 利用对称性计算二重积分107

9.3 三重积分的计算107

9.3.1 直角坐标系下三重积分的计算107

9.3.2 柱坐标系下三重积分的计算110

9.3.3 利用对称性计算三重积分113

9.4 二重积分的计算方法拓展114

9.5 三重积分的计算方法拓展121

9.6 重积分的应用128

9.6.1 平均利润问题128

9.6.2 质量问题129

9.6.3 质心问题129

9.6.4 转动惯量问题131

9.6.5 引力问题132

习题9134

第10章 曲线积分与曲面积分141

10.1 预备知识141

10.1.1 场的概念141

10.1.2 单连通与复连通区域142

10.1.3 平面区域D的边界曲线L的正向142

10.1.4 曲面的侧与有向曲面142

10.2 线面积分的概念143

10.2.1 第Ⅰ型曲线积分的相关概念143

10.2.2 第Ⅱ型曲线积分的相关概念144

10.2.3 第Ⅰ型曲面积分的相关概念144

10.2.4 第Ⅱ型曲面积分的相关概念145

10.3 线面积分的性质146

10.3.1 第Ⅰ型线面积分的性质146

10.3.2 第Ⅱ型线面积分的性质147

10.4 曲线积分的计算148

10.4.1 第Ⅰ型曲线积分的计算148

10.4.2 第Ⅱ型曲线积分的计算151

10.5 曲面积分的计算154

10.5.1 第Ⅰ型曲面积分的计算154

10.5.2 第Ⅱ型曲面积分的计算158

10.6 格林（Green）公式及其应用162

10.6.1 格林公式162

10.6.2 格林公式的简单应用166

10.6.3 平面上曲线积分与路径无关的条件166

10.6.4 全微分求积169

10.7 高斯（Gauss）公式171

10.8 斯托克斯（Stokes）公式174

10.9 积分学基本定理解析176

10.10 曲线积分方法拓展178

10.10.1 方法概述178

10.10.2 例题选讲179

10.11 曲面积分方法拓展180

10.11.1 方法概述180

10.11.2 例题选讲181

10.12 线面积分的应用184

10.12.1 线面积分的几何应用184

10.12.2 线面积分的物理应用185

习题10193

第11章 无穷级数200

11.1 无穷级数的概念201

11.1.1 常数项级数的一般概念201

11.1.2 收敛级数的基本性质206

11.1.3 函数项级数的一般概念207

11.1.4 幂级数的概念208

11.2 数项级数209

11.2.1 正项级数审敛法209

11.2.2 任意项级数审敛法213

11.2.3 交错级数审敛法215

11.3 幂级数217

11.3.1 幂级数的敛散性217

11.3.2 幂级数的和函数220

11.4 函数展开成幂级数223

11.4.1 泰勒公式224

11.4.2 泰勒级数225

11.4.3 某些初等函数的幂级数展开式226

11.4.4 函数幂级数展开式的应用228

11.5 数项级数敛散性解析231

11.6 函数项级数敛散性解析236

11.7 傅里叶级数244

11.7.1 三角级数与傅里叶级数244

11.7.2 函数展开成傅里叶级数246

11.7.3 周期与非周期函数的傅里叶级数展开254

习题11255

第12章 常微分方程262

12.1 微分方程的概念262

12.2 一阶微分方程266

12.2.1 可分离变量的微分方程266

12.2.2 齐次微分方程270

12.2.3 一阶线性微分方程273

12.2.4 伯努利方程276

12.3 二阶线性齐次微分方程278

12.3.1 二阶线性齐次微分方程解的结构278

12.3.2 二阶常系数线性齐次微分方程280

12.3.3 高阶常系数齐次线性微分方程的解法282

12.4 全微分方程283

12.5 可降阶的高阶微分方程287

12.5.1 y(n)=f（x）型微分方程288

12.5.2 y″=f（x,y′）型微分方程288

12.5.3 y″=f（y,y′）型微分方程289

12.5.4 通过换元转化为可降阶的微分方程290

12.6 二阶线性非齐次微分方程的解291

12.6.1 二阶线性非齐次微分方程解的结构291

12.6.2 二阶常系数非齐次线性微分方程293

12.7 微分方程的应用300

12.7.1 常微分方程在经济学中的应用300

12.7.2 常微分方程在几何问题中的应用301

12.7.3 常微分方程在物理问题中的应用303

12.7.4 常微分方程在其他领域的应用304

习题12306

附录A 积分表311

附录B 习题答案（下）320

参考文献343