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第1章　微分方程概说1

1.1 引言2

1.2　解的性质4

1.3　可分离变量方程10

1.4　一阶线性方程13

1.5　恰当方程17

1.6　正交轨线与曲线族22

1.7　齐次方程26

1.8　积分因子29

1.9 降阶法33

1.9.1　缺失因变量的方程33

1.9.2　缺失自变量的方程35

1.10　悬链与追逐曲线38

1.10.1 悬链38

1.10.2　追逐曲线42

1.11 电路45

应用详析：透析机的设计49

分类习题53

第2章　二阶线性方程57

2.1　二阶常系数线性方程58

2.2　待定系数法63

2.3　变动参数法67

2.4　利用一个已知解来求其他解71

2.5　振动和震荡75

2.5.1 无阻尼的简谐振动75

2.5.2 阻尼振动77

2.5.3　强迫振动80

2.5.4　关于电路的几点说明82

2.6 牛顿引力定律和开普勒定律84

2.6.1　开普勒第二定律86

2.6.2　开普勒第一定律87

2.6.3　开普勒第三定律89

2.7　高阶线性方程，耦合谐振子93

历史注记：欧拉99

应用详析：贝塞尔函数和振动膜101

分类习题105

第3章　定性理论概说109

3.1　线性代数复习110

3.1.1 向量空间110

3.1.2　线性无关的概念111

3.1.3　基113

3.1.4 内积空间114

3.1.5　线性变换与矩阵115

3.1.6　特征值和特征向量117

3.2　一点理论119

3.3　皮卡存在唯一性定理125

3.3.1　微分方程的形式125

3.3.2　皮卡迭代技术126

3.3.3 一些起辅助说明作用的例子127

3.3.4　皮卡迭代的估计129

3.4　振荡和施图姆分离定理130

3.5　施图姆比较定理138

应用详析：格林函数142

分类习题146

第4章　幂级数解与特殊函数149

4.1 引言及幂级数复习150

4.4.1　幂级数复习150

4.2　一阶微分方程的级数解159

4.3　二阶线性方程：寻常点164

4.4　正则奇异点171

4.5　关于正则奇异点的进一步讨论177

4.6　高斯超几何方程184

历史注记：高斯189

历史注记：阿贝尔190

应用详析：球内的定态温度192

分类习题194

第5章　傅里叶级数：基本概念197

5.1　傅里叶系数198

5.2　关于收敛性的一些说明207

5.3 偶函数和奇函数：余弦和正弦级数211

5.4　任意区间上的傅里叶级数218

5.5　正交函数组221

历史注记：黎曼225

应用详析：傅里叶变换初步227

分类习题236

第6章　偏微分方程和边值问题239

6.1 引言及历史注记240

6.2　特征值、特征函数、振动弦243

6.2.1　边值问题243

6.2.2　波动方程的导出244

6.2.3　波动方程的解246

6.3　热传导方程251

6.4　圆盘上的狄利克雷问题256

6.4.1 泊松积分259

6.5　施图姆-刘维尔问题262

历史注记：傅里叶267

历史注记：狄利克雷268

应用详析：量子力学中的一些思想270

分类习题273

第7章　拉普拉斯变换277

7.1 引言278

7.2　应用于微分方程280

7.3　拉普拉斯变换的导数和积分285

7.4　卷积291

7.4.1　阿贝尔力学问题293

7.5　阶梯函数和冲激函数298

历史注记：拉普拉斯305

应用详析：起始于冲激启动平板的流306

分类习题309

第8章　变分法315

8.1 引言316

8.2　欧拉方程319

8.3　等周问题及相关问题327

8.3.1　拉格朗日乘子328

8.3.2　积分形式的附加条件329

8.3.3　有限形式的附加条件333

历史注记：牛顿338

应用详析：哈密顿原理及其含义340

分类习题344

第9章　数值方法347

9.1 引言348

9.2　欧拉法349

9.3　误差项353

9.4　改进的欧拉法357

9.5　龙格-库塔方法360

应用详析：线性二阶方程的常数摄动法365

分类习题368

第10章　一阶方程组371

10.1 引言372

10.2　线性方程组374

10.3　常系数齐次线性方程组382

10.4　非线性方程组：沃尔泰拉弱肉强食方程组389

应用详析：方程组的矩阵及指数形式解395

分类习题400

第11章　非线性理论403

11.1 引例404

11.2　引例的进一步研究404

11.3 临界点的类型：稳定性409

11.4　线性方程组的临界点与稳定性417

11.5　用李雅普诺夫直接方法研究稳定性427

11.6　非线性方程组的简单临界点432

11.7　非线性力学：守恒系统439

11.8　周期解：庞加莱-本迪克松定理444

历史注记：庞加莱452

应用详析：弹簧上块物体的力学分析454

分类习题457

第12章　动力系统461

12.1 流462

12.1.1 动力系统464

12.1.2　稳定及非稳定的不动点466

12.1.3　平面上的线性动力系统468

12.2 由拓扑而来的一些思想475

12.2.1 开集和闭集475

12.2.2　连通的思想476

12.2.3　平面上的闭曲线478

12.3　平面自治系统480

12.3.1　庞加莱-本迪克松定理的证明要素480

应用详析：拉格朗日方程489

分类习题493

参考文献495

奇数习题答案497

索引525