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第1章 带小参数系统的定性分析的数学原理1

1.1 引言1

1.2 基本不等式1

1.2.1 格洛努奥尔（Γронуолл）型不等式1

1.2.2 毕哈里（Бихари）型不等式5

1.2.3 微分不等式9

1.2.4 积分不等式13

1.3 带小参数的方程组的解的一般性质15

1.3.1 解对参数的连续相依性、可微性与解析性15

1.3.2 解的延拓定理21

1.3.3 庞加莱定理22

1.4 稳定性的原本的定义25

1.4.1 关于初始条件的扰动的稳定性25

1.4.2 关于已知函数的稳定性26

1.4.3 具有经常作用扰动的稳定性27

1.5 关于李雅普诺夫意义稳定性的条件29

1.5.1 李雅普诺夫函数及其定号性29

1.5.2 推广的李雅普诺夫导函数32

1.5.3 关于稳定与不稳定的定理33

1.6 比较原理的主要定理37

1.7 带小参数方程组的稳定性定义39

1.7.1 平衡状态40

1.7.2 稳定性定义41

1.7.3 稳定区域42

1.7.4 吸引42

1.7.5 吸引区域43

1.7.6 渐近稳定性44

1.7.7 渐近稳定区域45

1.8 带小参数的方程组的μ稳定性与李雅普诺夫意义稳定性的联系46

1.7.8 运动增长的定义46

1.9 参考文献注释48

参考文献49

第2章 非线性方程组的稳定性的分析52

2.1 引言52

2.2 问题的提法52

2.3 对两个测度的稳定性的充分条件54

2.4 建立在纯量比较方程上的μ稳定性条件64

2.5 个别子系统的动力学性质的分析68

2.6 μ稳定性的代数条件72

2.6.1 一致渐近μ稳定72

2.6.2 全局一致渐近μ稳定74

2.6.3 指数μ稳定75

2.6.4 不稳定与完全不稳定78

2.7.1 弱关联系统（2.2.1）的半稳定性的一般问题80

2.7 关于弱关联系统运动的半稳定性80

2.7.2 对m=2的情形分析系统（2.7.1）的半稳定性81

2.8 某些力学系统运动稳定性的分析84

2.8.1 飞机纵向运动的稳定性84

2.8.2 含有微小非线性项的非直接控制系统86

2.8.3 带有不稳定的子系统的非直接控制系统88

2.9 参考文献注释90

参考文献90

第3章 构造李雅普诺夫函数与非自治系统的稳定性93

3.1 引言93

3.2 均值系统与非自治系统的稳定性93

3.2.1 切塔耶夫定理93

3.2.2 非线性方程组的一般情形95

3.3 关于均值方程组的渐近稳定性区域的估计98

3.3.1 定理（波戈柳波夫）98

3.3.2 渐近稳定区域99

3.4 用扰动方法构造李雅普诺夫函数101

3.4.1 辅助方程组的作用101

3.4.2 未受扰动方程组的渐近稳定解的情形103

3.4.3 拟线性方程组104

3.4.4 临界情形105

3.4.5 对高次近似影响的估计108

3.4.6 均值法与多项式解110

3.4.7 特殊的临界情形112

3.4.8 向量李雅普诺夫函数117

3.5 对于带小参数的非自治方程组的李雅普诺夫函数121

3.5.1 带微扰动的非自治线性方程组121

3.5.2 具有周期系数的线性方程组122

3.5.3 一类非自治非线性方程组125

3.6.1 辅助论断127

3.6 具有经常作用扰动的标准方程组127

3.6.2 关于稳定性的定理130

3.7 对部分变元的稳定性132

3.8 参考文献注释137

参考文献138

第4章 带有中立部分的非线性系统稳定性的分析141

4.1 引言141

4.2 在有限区间上的运动稳定性141

4.2.1 问题的提法141

4.2.2 关于稳定性的定理142

4.3 具有中立部分的非线性系统的稳定性分析148

4.3.1 辅助结论148

4.3.2 关于稳定性的定理150

4.3.3 不稳定的条件154

4.3.4 渐近稳定性条件157

4.4 运用辅助系统的方法推广定理161

4.5 具有非渐近稳定的子系统的大型系统的动力学167

4.5.1 运动稳定性与不稳定性的充分条件167

4.5.2 弱关联振动系统的分析178

4.6 带有减震器的双转子定向仪的稳定性187

4.6.1 关于部分变元的稳定性定理187

4.6.2 定向仪稳定性的条件188

4.7 参考文献注释191

参考文献192

第5章 奇异扰动系统194

5.1 引言194

5.2 问题的提法194

5.3 渐近稳定性的条件196

5.4 自治奇异扰动系统的吉洪诺夫（Тихонов）定理的推广200

5.4.1 问题的提出200

5.4.2 生成方程组的非渐近稳定的情形201

5.4.3 指数稳定的生成方程组的情形207

5.5 矩阵值函数及其定号性质210

5.6 矩阵值李雅普诺夫函数方法212

5.7 关于稳定与不稳定的一般定理215

5.8 奇异扰动大系统的描述与分解216

5.9 大系统稳定性的条件218

5.9.1 非自治系统218

5.9.2 自治系统231

5.10 不稳定的充分条件242

5.10.1 非自治系统242

5.10.2 自治系统243

5.11 大系统的绝对稳定性244

考虑鲁立叶型奇异扰动系统244

5.12 参考文献注释250

参考文献251