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第1部分 算术1

第1章 算术1

1.1　数的概念、性质和运算1

1　数的概念1

2　数的整除1

3　数的四则运算2

4 比和比例2

1.2　应用问题举例3

1　整数和小数四则运算应用题3

2　分数与百分数应用题7

3　简单方程应用题9

4　比和比例应用题10

1.3　典型例题12

第2部分　初等代数25

第2章　数和代数式25

2.1　实数和复数25

1 实数、数轴25

2　实数的运算26

3　复数26

2.2　代数式及其运算28

1　整式及其加法与乘法28

2 因式分解28

3　整式的除法29

4 分式30

5　根式31

2.3　典型例题32

第3章　集合、映射和函数35

3.1 集合35

1　集合的概念35

2　集合的包含关系36

3　集合的基本运算36

3.2　映射和函数37

1　映射的概念37

2 函数38

3　反函数39

4 函数的单调性、奇偶性和周期性40

5　幂函数、指数函数和对数函数40

3.3　典型例题43

第4章　代数方程和简单的超越方程47

4.1 概念47

4.2　一元一次方程47

4.3　二元一次方程组47

4.4　一元二次方程的性质49

1 判别式49

2　根和系数的关系49

3　二次函数的图像和一元二次方程的根49

4.5　解一元代数方程51

1 配方法51

2　公式法51

3　分解因式法51

4.6　根的范围、方程的变换52

1　确定根所属的区间52

2　方程的变换53

4.7　典型例题54

第5章　不等式57

5.1　不等式的概念和性质57

1　不等式的概念57

2　不等式的基本性质57

3　基本的不等式57

4　解不等式58

5.2　解含绝对值的不等式58

5.3　解一元二次不等式59

5.4　利用函数的性质和图像解不等式61

5.5　典型例题62

第6章　数列、数学归纳法65

6.1　数列的基本概念65

6.2　等差数列67

6.3　等比数列69

6.4　数学归纳法71

6.5　典型例题71

第7章 排列、组合、二项式定理和古典概率76

7.1　排列和组合76

1 基本概念76

2　排列数和组合数公式76

3　例题77

7.2　二项式定理79

7.3　古典概率问题80

1　基本概念80

2　等可能事件的概率81

3　互斥事件有一个发生的概率83

4　相互独立事件同时发生的概率83

5　独立重复试验84

7.4　典型例题85

第3部分　几何与三角89

第8章 常见几何图形89

8.1　常见平面几何图形89

1 三角形89

2 四边形90

3 圆和扇形91

4　平面图形的全等和相似关系91

8.2　常见空间几何图形93

1 长方体93

2 圆柱体93

3　正圆锥体93

4　球94

8.3　典型例题95

第9章 三角学的基本知识104

9.1 三角函数104

1　角和三角函数104

2 同角三角函数的关系105

3　诱导公式105

4　三角函数的图像和性质106

5　例题107

9.2　两角和与差的三角函数108

1　两角和与差公式108

2　倍角与半角公式108

3　例题108

9.3　解斜三角形109

9.4　反三角函数110

9.5　典型例题112

第10章　平面解析几何116

10.1　平面向量116

1　基本概念116

2 向量的加法与数乘116

3　向量的内积117

4　有向线段的定比分点118

10.2　直线119

1　直线的方向向量、倾斜角和斜率119

2　直线的方程119

3　两条直线的位置关系120

10.3 圆123

10.4　椭圆124

10.5　双曲线125

10.6　抛物线126

10.7　例题127

10.8　典型例题127

第4部分　一元函数微积分第11章　极限与连续132

11.1　函数及其特性132

1　函数的定义132

2　函数的特性132

3　复合函数与初等函数134

11.2　数列的极限135

1　数列的极限135

2　数列极限的四则运算135

11.3　函数的极限136

1 函数极限的定义136

2　函数极限的性质137

3　函数极限的运算法则137

4　两个重要极限138

11.4　无穷小量与无穷大量140

1　无穷小量与无穷大量的定义140

2　无穷小量与无穷大量的关系141

3　无穷小量与函数极限的关系141

4　无穷小量的性质141

5　无穷小量的比较141

6　等价无穷小量替换定理142

11.5　函数的连续性143

1　连续的定义143

2 函数间断点及分类144

3　连续函数的运算法则144

4 连续函数在闭区间上的性质144

11.6　典型例题145

第12章 一元函数微分学150

12.1　导数的概念150

1　导数的定义150

2　导数的几何意义152

3　可导性与连续性的关系152

12.2　导数公式与求导法则153

1 导数公式153

2 四则运算的求导法则154

3　复合函数的求导法则155

12.3 高阶导数157

12.4　微分159

1　微分的定义159

2　微分与导数的关系159

3　微分的几何意义159

4　微分基本公式和四则运算法则159

12.5 中值定理161

1　罗尔定理161

2　拉格朗日中值定理161

12.6　洛必达法则162

12.7 函数的单调性与极值165

1 函数单调性的判定法165

2　函数的极值及判断166

12.8　函数的最大值、最小值问题168

12.9 曲线的凹凸、拐点及渐近线169

1 曲线的凹凸、拐点169

2　曲线的渐近线171

12.10　典型例题171

第13章　一元函数积分学181

13.1　不定积分的概念和简单的计算181

1　原函数、不定积分的概念181

2　不定积分基本计算公式181

3　不定积分的性质182

13.2　不定积分的计算方法183

1　第一类换元法（凑微分法）183

2　第二类换元法185

3　分部积分法187

13.3　定积分的概念及性质189

1　定积分的概念189

2　定积分的几何意义190

3　定积分的性质190

13.4　微积分基本公式、定积分的计算193

1　牛顿-莱布尼茨公式193

2　变量替换法193

3　分部积分法194

13.5　定积分的应用198

1 平面图形的面积198

2　旋转体体积198

13.6　典型例题199

第5部分　线性代数210

第14章　行列式210

14.1　行列式的概念与性质210

1　行列式的定义210

2　行列式的性质211

3　几个特殊的行列式213

14.2　行列式的计算214

14.3　典型例题217

第15章 矩阵222

15.1　矩阵及其运算222

1　矩阵的概念222

2　矩阵的运算223

3　方阵的行列式227

4　特殊矩阵227

15.2 可逆矩阵228

1　可逆矩阵与逆矩阵的概念228

2　矩阵可逆的充要条件229

3　可逆矩阵的性质230

15.3　矩阵的初等变换232

1　初等变换232

2　用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵233

15.4　矩阵的秩235

1　矩阵的秩的概念235

2　矩阵的秩的计算235

3　矩阵运算后秩的变化236

15.5　典型例题237

第16章　向量245

16.1　n维向量245

1 n维向量的定义245

2　n维向量的线性运算245

16.2 向量组的线性相关性247

1 向量的线性组合与线性表出247

2 向量组的线性相关与线性无关248

3　其他几个有关的结论250

16.3　向量组的秩251

1 向量组的秩和最大线性无关组251

2 向量组的秩和矩阵的秩的关系252

16.4　典型例题254

第17章　线性方程组260

17.1　线性方程组的基本概念260

1　非齐次线性方程组260

2　齐次线性方程组261

17.2　求解齐次线性方程组261

1　齐次线性方程组有非零解的条件261

2　齐次线性方程组解的性质261

3　齐次线性方程组解的结构、基础解系262

4　消元法解齐次线性方程组262

17.3　求解非齐次线性方程组265

1　非齐次线性方程组有解的条件265

2　非齐次线性方程组解的性质和结构265

3　消元法解非齐次线性方程组266

17.4　典型例题269

第18章　矩阵的特征值和特征向量275

18.1　特征值和特征向量的基本概念275

1　特征值和特征向量的定义275

2　特征值和特征向量的计算275

3　特征值和特征向量的性质277

18.2　矩阵的相似对角化问题279

1　相似矩阵的定义279

2　相似矩阵的性质279

3　矩阵对角化的条件和方法281

18.3　典型例题284

模拟试题（1）291

模拟试题（2）295

模拟试题答案299

附录A　初等数学中的一些重要公式300

附录B　微积分中的一些常用公式303